(非长图)日常系列1：日常生活中的等差数列和等比数列

本系列着力于挖掘适合在高中各知识单元日常教学中使用的材料，以配合新课标的落实。本讲材料如下：

1. 城市中交通路线的平均长度：等差数列与堆垒求和；
2. 估计商品的价位：等比中项与几何平均；
3. 住院病人给药时间表的设计：等比数列求和与极限控制法。

▌1. 城市中交通路线的平均长度：等差数列与堆垒求和
假设我们处在这样一个城市里：它的道路呈现为一个

（

行

列）的方形网络，网络中的每个节点为一个公交站点，相邻站点的间距为

。现在的问题是：从该城市中一个站点到另一个站点的平均长度为多少？这里不允许走回头路，也不允许兜圈子（即，只允许向目的地行进，不能走过了再返回来这样故意浪费行程），这样在方形网络中，一来从一个站点到另一个站点的不同走法对应相同的路程，于是可以假设不同行的站点之间只走一个“之”字形。

图1 因为假设了不允许兜圈子，所以两个站点间的路程与路线选取无关，于是可以假设两站点间只走一个之字形。

首先考虑方形网络的每一行，每一行有

个站点，每一个都可能是初始站，每一个也可能是终点站。从第

个站点出发向东走，可能经过

个

，于是从第

个站点出发向东走的所有可能路程之和

考虑不同的始发站

，可得每一行中可能的向东路程总和为下面式子, 记(*)

其中

。这里面我们介绍一下

求和公式的推导方法，注意到

类似于等差数列通项公式的证明，将上述方程组中每个方程累加到一起可

进而可

这种方法被称为堆垒求和方法，用这种方法，以递推的方式，可依次求出

、

、

等的公式。

回到（*）式，可得每一行中可能的向东路程总和为

因为可以向东走也可以向西走，于是每一行中可能的路程总和为

再考虑不同行之间的穿插，一个复杂的行程可以途径很多行，

行两两配对共有

种可能。于是

方形网格东西向的所有可能的路程总和为

.

南北向的计算是完全类似的，只需要将上式中的 和 对调，得到 方形网格南北向的所有可能的路程总和

二者作和可得

方形网络中可能的路程总和为

因为方形网格中共有

个站点，每个站点到其余

个站点都可以成为路程，所以平均路程为

奇妙地是，这刚好是方形网络最外围周长的

。

感兴趣的读者可以思考：如果是矩形网络，结论是否依然成立？为什么？

▌2. 估计商品的价位：等比中项与几何平均
现在我要去买一件换季的衣服，为了不超出预算太多，我需要事先估计一下北京西单的君太百货内商品的“平均”价格。

一般来说，我们不太可能拿到君太百货的进货清单，而且我也不至于为了这样一个问题去大费周折——我需要的是一个快速地、有效地、精度哪怕不是那样高的、可以应用也符合常理的推算。君太百货的衣服价位波动很大，贵的上万，便宜的不到百元，我们关注的其实不是平均价格，而是平均价位，这可以由平均价格的数量级来反映。

假设君太百货最贵的男装为

元/件，最便宜的男装为

元/件，如何去计算平均价格的数量级呢？显然取算术平均数并不合理，因为二者在取算术平均数时，

元的价格相对

元的价格可以忽略。实际上，很多商品单价上万元的店铺的赠品价格都不止

元。

这个时候，几何平均数，或者换个称呼，等比中项，就发挥了它的作用。

和

的等比中项为

元，这就是二者的平均数量级。我们完全可以将这个价格近似地看作君太百货男装的平均价位，这和日常感觉也相吻合。

一般地，给出两个正数

，它们的几何平均数为

，也就是二者的等比中项，因为

.

而且关于等比中项和算术平均数（等差中项）有不等式

，

其中“

”成立当且仅当

。而且二者的差为

.

对于君太百货男装售价的这个例子，最高价格和最低价格之间相差悬殊，所以算术平均和几何平均差距很大。

同样的方法还可以用来估计一座城市的平均收入水平。例如：北京市内企业职工（不算老板和个别高管）的高收入大约为

元/月，低收入大约

元/月，二者的几何平均数为

万元。北京市内一般工作 10-15 年的中年骨干职工的收入就是这个水平。但是如果取算术平均数，那么就会得到

元/月的平均收入，这显然不合理。

使用几何平均数的另一个好处在于，即使对于最大最小值的估计并非那样准确，例如：在君太的例子当中，男装最贵的可能是

元，而非

元（我没有买过

万元的衣服，可能是贫穷限制了我的想象力），重新计算可得平均价位为

元。最高售价

的涨幅只带来了平均价位

的涨幅。实际上，如果我们将几何平均数

看作是以

为变量的函数 ，则

其中“

”表示对

取极限。一般来说不可能

，所以也常将“

”改为“

”。

这意味着当自变量

相对变化

时，函数值

仅会发生大约

左右的变化。这实际是在计算函数值随自变量变化的“灵敏度”。

有的读者可能会疑惑：什么时候用算数平均数（等差中项），什么时候用几何平均数（等比中项）来反映平均水平呢？
假设有关于离散型随机变量

的分布列（其中

，

，

，

），

则

的期望为

，

中最大值和最小值的几何平均数为

，二者之差的绝对值为

.

当

时，

，于是

。

当

时，

，于是

，

如果再假设

，则

。

同理可证，对于一般的

，当

且

时，

。

我们清楚，当

时，即随机变量

服从均匀分布时，

就是

所有可能取值的算术平均数，但是这在自然界和日常生活中一般是不可能的。无论是树干的粗细，还是商品的售价，还是职工的收入，都呈现出明显的“不均匀”分布形态，具体地说，都呈现出“数值小的相对多一些，数值大的相对小一些”这样的“前倾”分布。

这意味着，当我们面对的问题呈现出明显的“前倾”分布时，用最大值和最小值之间的几何平均数（等比中项），就比用二者的算术平均数（等差中项）更符合实际需求。

感兴趣的读者可以利用本小节的原理来估计一棵树的所有枝干的长度总和。

▌3. 住院病人给药时间表的设计：等比数列求和与极限控制法
假设病人

在住院期间需要长期规律性注射针剂

（针剂的药物直接释放到血液中去，可以认为血液中药物浓度瞬间提升）。俗语说“是药三分毒”，如果针剂

在人体内血液浓度超过

，则会引起中毒；如果血液中药物浓度低于

，则不起效果。已知药物每次注射量为定值，每次注射使得血药浓度在当前基础上提升

，根据渗透压原理，若每次刚刚完成注射后的血药浓度为

，则下一次注射药物前的血药浓度将衰减为

，其中

代表吸收率，

为固定的给药时间间隔，单位为“小时”。

设第

次给药后的瞬间血药浓度为

，第

次给药前的药物浓度为

，则有

于是可得

根据等比数列求和公式，注意到

，可得

令

，可得

，

，

这个极限可以分别表征住院时间充分长之后，每次给药前的血药浓度和每次给药后的血药浓度。根据实际情景，病人希望药物有效、不会中毒且充分发挥血液中药物的治疗功能（即，血药浓度马上要低于最低有效浓度

时再注射），于是有方程组

即

解得

.

这实际上根据药物的属性给出了合理的给药时间间隔的计算方法（也可以顺便算出适合的

），注意这里

的取值和

无关。

感兴趣的读者可以思考：如果药物不是针剂，而是口服给药，即，血液中药物浓度并非瞬间提升，而是缓慢提升，那么应该如何修正模型得到对应的给药时间间隔

？

参考文献：
[1]. John A. Adam，张慧增等译，城市生活中的数学建模[M]，机械工业出版社；
[2]. William P., Giordano, Frank R. A First Course in Mathematical Modeling[M]. Thomson, 2013.2.