尺度理论——过去50年物理学中最重要的数学成就，解释一切

1982年，肯尼斯-威尔逊因一项不寻常的成就而获得诺贝尔物理学奖。他提出了一个关于尺度的理论。特别是，威尔逊证明了在不同尺度之间似乎存在的刚性壁垒是如何在接近所谓的临界点时被打破的。例如，当冰块越来越接近融化时，分子水平上发生的事情突然影响到宏观水平上发生的事情，反之亦然。尺度之间的隔离被打破了，所有的尺度都对冰过渡到水有贡献。

威尔逊的研究具有深远的影响。对于量子理论标准模型，威尔逊展示了尺度如何影响你将测量的自然界的基本常数，更重要的是，为什么会影响。在威尔逊的研究之前，物理学家们一直认为他们是在用方程式玩某种数学游戏，以得到合理的结果。威尔逊证明了事实并非如此。相反，这一切都是按比例来的。像万有引力常数和精细结构常数这样的常数根本不是常数，而是在很大程度上取决于测量它们的尺度。

他特别表明，他们的方程在一个特定的尺度上失效，但在某些情况下，你可以忽略在更小的尺度上发生的事情，因为你不明白也不知道发生了什么。相反，你可以把一个尺度和一个稍微小一点的相邻尺度联系起来，然后得出公式，说明随着你的实验仪器探测到越来越小的长度，自然常数是如何从一个尺度到另一个尺度变化的。由于历史原因，这种数学技术被无厘头地称为 "重正化群理论"，它永远地改变了量子物理学，是过去50年中物理学中最重要的数学成就之一。

这并不是唯一发生在微观层面的奇怪事情。科学家们已经证明，如果你到了足够小的尺度，时间实际上可以在短时间内倒退。仅由少数分子组成的机器可能会受益于这种奇怪的时间扭曲。原因是热力学第二定律，它支配着我们认为的时间流动方向，是一个统计定律，像所有的统计定律一样，当样本量变小时，它就被违反了。在小规模的情况下，违反的可能性越来越大，而时间确实可以被观察到向后运行。

在技术的世界里，虽然飞机使用类似于鸟的固定翼，但在小尺度上，那是不行的。更小的尺度意味着更多的湍流，需要更多像昆虫一样的翅膀运动。在更小的尺寸下，鞭状鞭毛以一种奇怪的螺旋状模式移动，推动单细胞生物前进，包括使人类生殖的精子细胞。

同时，在最大的尺度上，宇宙变得像一个平滑的流体。每个星系和超级星系团就像数十亿人中的一个分子。虽然宇宙，即使在最大的尺度上，也有一些网状的结构，但它在很大程度上是平稳地移动和扩张。然而，在数十亿年前的某个时刻，我们所知道的最大结构，即460亿光年的可观测宇宙，比原子核还要小。在这个尺度上，宇宙与最微小的尺度相撞，我们不知道在这一点上会发生什么。我们只知道当宇宙再大一点，我们知道的普通物理学出现时，会发生什么。

关于尺度的有趣之处在于，在望远镜和显微镜被发明并变成科学仪器之前，这些东西甚至都不可见。伽利略围绕这些仪器建立了企业，在一段时间内几乎成为垄断者。然而，他们也利用这些仪器大大扩展了我们对最大尺度和最小尺度所发生的事情的认识。从木星的卫星到一滴水，这时我们的世界开始向两个方向扩展。

关键是，对于不同的尺度，我们通常使用不同的物理学。在星系和宇宙的尺度上，我们使用爱因斯坦的长方程。里面没有关于地球上所有生命多样性的内容，也没有原子，因为那些都不重要。

同样地，在最小的尺度上，我们有量子物理学。有人说，所有的物理学都是量子的，但我们不用量子物理学来讨论海洋的洋流。而且，虽然有很多尝试，但在将量子物理学应用于恒星或宇宙的尺度上，取得的成果非常少。唯一真正的例外可能是史蒂芬-霍金在黑洞热力学、熵和霍金辐射方面的一些研究，它将这两者结合起来。不过，这其中大部分都是未经证实的。对于大型恒星黑洞来说，量子效应基本上是不可见的。我们没有创造微小黑洞的仪器，我们可以通过研究来证实这些预测的大部分。而且我们还没有发现任何自然发生的原始黑洞（这些黑洞可能小到可以观察到它们）。

事实上，每个尺度都有自己的物理学，跨尺度的物理学是相当罕见的。唯一的例外可能是电磁学，但即使是电磁学也会在最小的尺度上分解，因为它与其他力相结合。

这就是威尔逊的研究既吸引人又令人担忧的地方，因为他表明在这些临界点上，所有尺度都很重要。这意味着，如果宇宙中的大尺度结构现在或过去经历了临界点，我们可能无法理解它们，这取决于尺度有多大，除非我们有一个总的理论，将大尺度和小尺度结合起来。

黑洞和奇异结构可能是这些临界点发挥作用的地方。在这些情况下，我们正在使用爱因斯坦的物理学，但爱因斯坦的物理学忽视了微小的量子尺度。我们必须有一个包括爱因斯坦和量子尺度物理学的物理学，以便理解这些关键现象。我们不能忽视任何一个。

直接的解决方案是将爱因斯坦的方程 "量化"，但事实证明这很难，没有人能够想出如何做到这一点，因为爱因斯坦的理论只是一个大尺度的 "有效 "理论，不适用于任何其他尺度。我们需要找到在所有尺度上都有效地 "真正 "的引力理论。

这个理论已经被一个叫波利亚科夫（Polyakov）的人发明了。波利亚科夫的方程确实在所有尺度上起作用。波利亚科夫方程中也有与爱因斯坦引力场非常相似的东西。最近，数学家们确实证明了它在二维空间中的作用。他们花了四十年的时间来证明它，而且只是针对二维。如果他们能在4维中做到这一点，他们可能会有一个可行的理论。无非是弦理论。

另一个建议是，引力有它自己最小的尺度，实际上没有比这更小的东西。毕竟，爱因斯坦的方程确实告诉我们事物有多长。它是一个 "度量 "场理论。引力改变了事物的长度。如果它能决定这些东西，那么它为什么不简单地告诉我们事物能有多小呢？

在计算机中，我们在模拟任何事物时总是引入一个最小的尺寸，因为计算机是有限的机器。但是对于大多数事物来说，最小的尺寸是叠加在一些背景上的，而这些背景并没有被假定为有一个最小的尺寸。对于引力，如果你确实假设了一个最小的尺寸，它并不叠加在任何东西上。空间和时间中的每一个点都没有 "位置"，因为要有一个位置，你必须有一些背景现实来比较它。

这与这个想法类似。你必须通过它与其他每个点的关系来定义每个点。事实上，这是这个空间和时间理论中任何特定点的唯一定义特征。它与具有某种最小距离的相邻点相连。这就是环形量子引力。

还有一些理论试图以这样或那样的方式来消除尺度问题。比如通过将引力量化到第五维。这种量化并没有告诉你在最小的尺度上发生了什么，它只是告诉你这些尺度应该是可控的，因为引力在最小的尺度上是确定性地演变的，尽管是混乱的。它还从根本上挑战了量子物理学，将其纳入爱因斯坦的广义相对论。

无论答案是什么，它都必须解决这一个问题：当把引力带到最小的尺度时会发生什么？引力会改变吗？量子物理学会改变吗？现实是否就这样停止了？如果我们真的碰巧找到了正确的理论，我们仍有很多工作要做，以证明它与我们在最大尺度上看到的情况相匹配。

最近，有人问，如果我们只能用有理数作为位置和时间的衡量标准会怎样？这对这个问题有帮助吗？有理数是整数的比率，并非所有的数字都是有理数。事实上，无理数比有理数的数字多得多。然而，你在生活中遇到的每个数字都是有理数。原因是我们根本无法处理那些有无限个不重复数字的数字。问题是：这能解决尺度问题吗？

它不会解决这个问题。有理数可以代表你选择的任何比例。人们对连续数感到困惑，但它们很少是物理学中的真正问题。通过使用极限和比例来控制连续数带来的任何问题是很容易的。我认为非数学家只是害怕它们，因为当你处理连续数时，你会失去离散数的直观性。你必须考虑到函数空间和无限维度的运算符。这让人眼花缭乱。但真正的问题不是连续性，而是尺度。那是一个关于数字的无限性的问题，而不是数字的连续性。引入一个有限的宇宙，你可能会解决这个问题，但你必须回答这个问题：宇宙有多大或多小？

由于还不能测量黑洞奇点的情况，所以不可能知道真正的答案是什么。也许有一天引力波探测器会告诉我们。另一种可能性是，一种新的理论将被引入，解释其他一些现象，如暗物质和暗能量，并且不存在与爱因斯坦相同的尺度问题。无论解决方案是什么，都需要在巨大和微小的尺度上发挥作用。