面积计算（三）

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正如之前一个系列所提到的，为什么这么多人怕数学？因为很多人没有掌握数学学习的方法——当然大多数人等到自己的学生生涯结束的时候也没有学会怎么学数学，这一点都不奇怪，不然为什么所有的升学考试都是靠数学来拉分呢？

但是我还是想做这样的尝试，让各位家长能明白怎么去学数学，从而在鸡娃的道路上别跑偏。

小学的几何题中，求阴影部分面积是核心问题。然而多少求阴影部分面积的问题让做题的人心里蒙上了一层阴影，从化归的角度来说，很多娃连自己心里阴影部分面积都求不出来，怎么可能求的出纸上的阴影部分面积呢？

究其原因，还是没有抓住问题的本质。

小学的面积题中，无论是三角形还是四边形，核心就在于底和高。因此我们在做题的时候总是想办法把这两个要素确定下来。

当然，我们仅仅从三角形面积公式的表达上就可以看出：如果底和高的数值不变，那么三角形面积自然不变。所以固定住三角形一条底边，然后过底边对应的那个顶点做平行线，则平行线上任意一点和这条底边构成的新三角形面积和原来的三角形面积相等。如果我们减去公共的阴影部分，那么可以得到这副“眼镜”的镜片面积相等。

这是非常常用的等积变换。很多学生对于平面几何中作辅助线达到了“畏辅如畏虎”的地步，因为他们他们根本没有理解好这个基本公式。

等积变换的另一种形式就是底（高）扩大n倍，高（底）缩小n倍，三角形面积保持不变。利用的就是一个数和其倒数乘积为1这么简单的原理。

我们来看一些简单的例子。

例1.    已知三条直线a,b,c相互平行，BD=FH，△ABD的面积是△GFH面积的两倍，△BCD面积为4，求四边形EFGH的面积。

平行线起什么作用？

事实上这个要从初中平面几何的角度是非常容易理解的：平行线就是等高的代名词。当然这个结论最好就是由家长诱导孩子一步步自己推出来，如果真的推不出，也要让孩子自己尝试多次失败以后再告诉他，不要直接就把结论给孩子，这样往往印象不深刻。

我们注意到△ABD的面积是△GFH面积的两倍，但是这两个三角形面积具体数值并没有给出，而△BCD的面积是知道的，最后要求的是一个具体的面积，不是比值，这说明了什么？

△EFH和△FHG的面积是可以求出来的。

因为我们现在看到的四边形不属于任何一款可以直接套公式的，所以一定是要化归。但是无论是平行四边形还是矩形正方形看起来都不像，因此比较合理的就是拆成两个三角形。

既然要求总面积，那么比较自然的想法就是这两个小三角形的面积都能求出来。但是现在这两个具体数值都没有，那么突破口只能在有数值的△BCD上了。

△BCD的面积是4，注意到它和△FGH都是夹在b和c这两条平行线之间的，且BD=FH，所以同底等高，面积相等，于是△FHG的面积也是4，而△ABD的面积就是8.我们又发现△ABD和△EFH也是夹在两条平行线之间的等底三角形，自然也就等高然后面积相等了。

所以我们得到四边形EFGH的面积为12.

题目很简单，但是请仔细体会等高和平行线之间的联系，以及公式中每个字母的含义，这个很重要。

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