面积计算（十七）

我们接着看怎么把简单的题拼成难题。

如图：由三个大小不等的正方形拼接而成，中间正方形边长为15，AC恰好经过中间正方形的左上顶点，求△ABC的面积。

之前都是两个正方形的拼接，现在变成三个正方形了，怎么处理？

对角线。当然还是对角线。

我们连接了这几条对角线之后，发现阴影部分面积恰好就是中间的正方形的面积。

这个题目如果没有之前的铺垫，绝对是个难题。因为看起来缺条件，而且图形看起来也很复杂。但是恰恰这给了我们突破口：面积和大小正方形的边长无关，只和中间的这个正方形面积有关。再看看比例，大致也能猜出就是中间正方形的面积了。

事实上，所有的难题都是由这样一点一点拼起来的。

如果直接给你一个正方形，连了对角线以后让你求其中一块等腰直角三角形的面积，你会觉得这个题目简直就是在侮辱你；当两个正方形拼在一起，其中一个作为迷惑项的时候，你会发觉这个题目有点意思；当三个正方形拼在一起，并且两个正方形作为迷惑项，你会觉得这个题目好难。

同样的，在中高考数学中，最后的大题也是这样一点一点凑起来的。二次函数，挺难，好，结合平面几何，难一点；让几何图形动起来，更难一点；分情况讨论存在性问题，难上加难。

所以做题目一定要循序渐进，一点一点去琢磨出题人的意图，要学会把未知的题目转化成已知的知识点去解决，没错，这就是我在代数中反复强调过的数学思想：化归。

如图：已知两个正方形ABCD的边长为12，正方形BEFG的边长为8，正方形PCQR的边长为7，求阴影部分面积。

这个图看起来和之前的那些都不一样，但是既然是正方形，那么关键的东西就不会变——对角线。可以说在小学涉及正方形的面积难题中，连对角线是必不可少的；就算到了初中，95%以上的和正方形相关的难题也都是要连一下对角线才能解决的。

为什么对角线这么神奇？

平面几何的中心问题就是研究位置关系和数量关系，而正方形的对角线互相垂直，和任意一条临边夹角45°，两条对角线长度相等且平分，有这么多的数量关系和位置关系，你说要不要连一下？

还是那个问题：连哪里。

要和阴影部分有关系。因此连接AC一定不是什么好办法，而连接FB是一定的，为什么？因为这样DB是大正方形的对角线，并且FB是作为DB的一部分。

有了DB以后，连RC就成了必然（讲平面几何竟然讲出了下围棋的感觉），为什么呢？因为我们要有梯形。于是阴影部分的面积就转化成了三角形DFC的面积。而DC边的高恰好就是正方形ABCD和正方形BEFG的边长差，于是题目就做完了。

我们当然可以总结套路：看见正方形求阴影部分面积，就连一下对角线！这当然没有问题，而且这个很有效——因为总共也就两种连法，一种不行另外一种当然就ok了。再加上一定量的训练，就可以玩的很熟练，对大部分的学生来说，这样做已经足够了。

对学有余力的孩子来说，就要告诉他们套路以上的东西——为什么对角线一连就能解决这么多问题？本质上就是提供了大量的位置关系和数量关系，这样孩子以后再碰到新的几何问题，就会自己尝试去总结新的几何图形中的这两类关系，再后来就是自己去归纳总结新的知识点中的核心问题，从而越飞越高！