模糊数学——“差异”与“同一”

哲学上把“对立”和“同一”当作一对范畴。从数学上看，更重要的是研究“差异”与“同一”。正与负，微分与积分，加与减等等都是对立物，是从数量上刻划“对立”规律的学问。如果从更广的意义上去理解，“对立”是从“差异”开始的，当差异发生到极点的时候，就会出现对立。所以事物间的同一与差异也许是更为普遍的研究课题。

康托(G. Cantor)集合论是描述同一与差异的数学方法。一个集合是指具有某个同一性质的事物全体。一个元素a要么属于集合M，要么不属于M，二者必居其一而只居其一。

康托的集合语言廓清了公孙龙的“白马非马”诡辩。比如，是或非的日常语言很容易混淆。“是”， 有很多种解释：

(1)表示相等：“能被2整除的数是偶数”(集合相等)；

(2)表示属于：“2是偶数”(元素属于集合)；

(3)表示包含于：“能被4整除的数是偶数”(子集含于全集)。

同样，“非”也有“不相等”，“不属于”，“不包含于”三种解释。这样一来，“白马非马”中的“非”作为“不相等”解释是正确的命题。作为“不包含于”解释，则得出“白马”这个子集不含在“马”的集合内，显然就不正确了。

因此，集合语言在表示“是”、“非”这种判断“同一”与“差异”的语句时，有其明显的优点。这是数学作为精确、简约的科学语言的例证。

但是，同一与差异并非如此绝对。康托集合概念的“边缘”十分清楚，“属于”和“不属于”，非此即彼，没有其他的中介状态。

1965年扎德(Zadah)提出模糊集合的观点。他认为界限不分明的中介状态是普遍的现实存在，人的语言具有模糊性：“年轻人”、“高个子”、“讲卫生的人”等等。客观事物之间往往没有明确的界限。如人与猿，生物与非生物，有病与健康等等都是如此。因此，应该将康托的集合论适当加以修改，问某个元素是否属于某个集合时，应附以隶属度f，若a∈B， 则f(a)=1；a∉B，则f(a)=0。一般地问a是否属于B，可用大于0小于1的数f(a)加以标志。

由于集合是最原始的概念，模糊集合思想会引起整个数学的变化。这样，模糊数学方法又为描述“同一”与“差异”的范畴作出自己的贡献。

模糊数学中，概念是确定的，但没有明确的外延。它用隶属度来标志事物的中介状态，将“部分的同一”数量化。扎德的这一想法，新颖、大胆且符合实际，目前不仅对数学发展产生影响，而且已在工业生产中获得应用，呈现强大的生命力。

然而，如果把模糊数学说成是“现代数学”的标志，是整个数学发展的第三个里程碑，恐怕是言过其实了，至少在目前是如此。