具有划时代意义的数学著作——傅里叶《热的解析理论》

如果要评选数学发展史上最重要的一些著作，那么我想傅里叶的经典名著《热的解析理论》一定会位列其中。傅里叶在书中将物理问题数学化，并且引入强有力的数学分析工具，从而开创了数学物理方法的全新局面，深刻影响了后世包括数学，物理以及相关学科的发展。他的理论后来就形成了我们今天所称的“傅里叶分析”这门经典学科，可以说，傅里叶分析的思想和方法无论是理论上还是应用上，都具有重大的价值。毫无疑问，傅里叶的这本著作是理论和应用两开花的典范。

傅里叶(Joseph Fourier，1768~1830)出生于法国的一个普通平民家庭且父母均早亡，后来是在当地教会的资助下才能继续学习，所幸悲惨的童年并没有埋没傅里叶在科学方面的天赋。1895年，得益于拿破仑对法国的科教改革，傅里叶来到著名的巴黎高等师范，成为首批学生，不久便在众多才华横溢的法国学生中崭露头角。次年，傅里叶便凭借出色的数学物理才能被选为助教，协助拉格朗日等大师级人物进行研究工作。不仅如此，傅里叶后来政绩也相当突出，颇受拿破仑器重，还曾随拿破仑远征埃及等地，并被授予爵位。1815年，厌倦了官场的傅里叶回到巴黎，再次全身心投入到科学研究中，直至逝世。傅里叶一生主要的贡献就是围绕物理中热的传播方程，建立了一套全新的数学分析体系，为这一领域开天辟地，几乎改变了近代数学物理的方方面面。对于傅里叶的贡献，热力学之父开尔文勋爵曾言其影响了自己在数学物理方面所有的工作。

傅里叶

早在1807年，傅里叶就写过一篇名为《热的传播研究》的论文，但提交给法国科学院之后，被拉格朗日等部分评阅人以推导不严格为由直接退回。而拉普拉斯则鼓励傅里叶进行更深入的研究并补充技术细节，因而在前一篇论文的基础上，傅里叶进行了更深入的思考，补充了很多具体演算过程，并在1811年更名为《固体中的热运动理论》后再次提交给科学院，而这一次这篇论文不仅被接受，还获得了科学院大奖。但这一篇论文却并未正式发表，原因恐怕就在于傅里叶的思想太过超前，打破了当时的一些固有观念，遭到一些位高权重的顽固分子的反对甚至是迫害，以至于其论文不能被轻易发表出去。

在此之后，傅里叶又继续完善自己的理论，撰写了不少文章来阐释自己的思想，最终汇集成册，于1822年正式出版了传世不朽名著《热的解析理论》，后经过一些修订，有了今天我们所常见的版本。《热的解析理论》一书不仅科学意义巨大，而且写作也行云流水般流畅，麦克斯韦更是赞美其为“一首数学的诗”。

《热的解析理论》一书的内容一言以蔽之，那就是研究各种类型的物体中的热传导问题。但实际上，傅里叶并非历史上第一个专门研究热传导理论的科学家，在傅里叶之前，一位名叫比奥的科学家也系统地考虑过金属中的热传导问题，并且指出了体内传导和体外辐射两种热传导方式的区别，但由于数学工具的缺乏，比奥得到的一些方程是错误的。在此基础上，傅里叶敏锐地意识到，缺乏数学工具的物理问题难以被正确刻画和研究。

傅里叶在《热的解析理论》一开头就写到：热的作用服从一些不变规律，如果不借助数学分析就不可能发现和解释这些规律。因而傅里叶研究热传导的基本思想就是物理问题数学化，把物理量服从的规律转化为带边值的偏微分方程，进而通过求解方程来解释其中蕴含的物理含义。而正是这样的数学化思想，开创了数学和物理研究的全新局面。

傅里叶在长期的观察和思考下，得到结论：每一函数，无论怎样复杂，总可以表示为三角级数的形式。而这一“石破天惊”的宣言被美国著名数学史家克莱因称作是十九世纪科学发展的第一大步。但如同傅里叶不是系统研究热传导问题的第一人一样，他也不是第一个考虑过函数的三角级数展开的数学家。事实上，早在傅里叶之前，欧拉，达朗贝尔和伯努利等人在研究弦振动问题时，就弦振动方程的解是否能展开为三角级数这一问题进行了长期的争论。尽管缺乏严格的数学理论，但三角级数展开这一方法确实在某些方面彰显出巨大甚至不可代替的威力，而傅里叶的过人之处在于，他把一些孤立且特殊的情形所采用的三角级数展开方法，作了处理和推广，最后发展成了一般理论。

对于一般函数的三角级数展开，拉格朗日是相当反对的，因为他坚信正余弦曲线不能组合成一些不连续或有尖点的函数，尽管事实确实如此，但这样的函数还是能够被三角级数一致逼近，因而也能够用级数展开来研究它的性质。尽管傅里叶宣传任意函数都能进行三角级数展开，但实际上他后来也发现，这样的展开只能对具有有限个间断点的的周期函数才可能成立。为了克服有限周期这个限制，傅里叶又引入了傅里叶积分和傅里叶变换的概念，极大地拓展了级数展开和收敛这套理论，进而可以用来研究无穷大物体中的热传导问题。傅里叶一直倡导利用级数求和来定义函数的积分，而这样的思想也被后世数学家所继承，例如经典的黎曼积分，它就是黎曼在研究三角级数时顺便提出来的概念。

尽管傅里叶利用三角级数展开解决了很多热传导问题，但他也只能通过列举和作图的方式来说明自己方法的合理性，而这显然成为了这一理论长期饱受诟病和攻击的原因。但脱离时代来评价傅里叶及其贡献显然是不合适甚至不公平的，我们要知道，在傅里叶的年代，甚至都没有函数的严格定义，更不可能以精密的手段来研究数学分析，这些在柯西和魏尔斯特拉斯的数学分析严格化工作完成以后才成为可能。如果以现代数学的观念来看待那个时代的数学，那么许多理论都是不严格的，但这些并没有妨碍数学的蓬勃发展。

傅里叶级数问世后，在长达三十年的时间里，这一理论几乎没有任何实质性发展，就连一个函数的傅里叶级数展开式是否收敛于自身这样最基本的问题都无法判断对错。直到1837年，狄利克雷才真正地证明了一个傅里叶级数收敛的充分性定理，在傅里叶理论危难之际给它打了一剂强心针，自此这一理论才开始蓬勃发展，而在以勒贝格积分为代表的实分析理论完善之后，傅里叶理论在此框架之下也日臻完美成熟，到今天，经典的傅里叶理论已成为数学中相当完善的体系。傅里叶的工作使得我们能够从解析(可展成泰勒级数)函数的范畴内里挣脱出来，从而深刻地改变了函数这个概念及整个分析学的面貌，可谓居功甚伟。

但在《热的解析理论》问世后相当长的时间内，傅里叶及其工作没有得到正确的对待和评价，所幸后来“不鸣则已，一鸣惊人”。对于傅里叶及其工作，数学史家拉维茨(J.R.Ravets)和吉尼斯(I.Grattan.Guinness)的评价非常到位：

“我们最好把傅里叶的主要成就理解为这样两个方面：第一，把物理问题的公式化表示当作线性偏微分方程的边值问题来处理，这种处理（连同他在单位和量纲方面的工作）使力学扩展到牛顿《数学原理》所规定的范围以外的广阔领域；第二，他为求解这些方程的所发明的强有力的数学工具，这些工具产生了一系列派生物，并且他也提出了数学分析中那些激发了19世纪及其以后的许多第一流工作的问题”。