《九章算術》粟米法之稻飧糵問題詳解 (3)
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上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112
何世強 Ho Sai Keung
提要：《九章算術‧卷二》為〈粟米〉，談及粟米與稻、豉、飧、熟菽、糵作等值之轉換，此卷之問皆屬初等之比例數。
關鍵詞：稻、豉、飧、熟菽、糵
《九章算術》九卷，共九章，乃最早之古代數學著作之一，其作者無考。分二百四十六題二百零二術，乃漢代之重要數學著作。此書應經歷代多家之增補及修訂，而成為今之傳世本。著名之注者為晉‧劉徽及唐‧李淳風。
筆者所採用者乃清‧四庫全書本。清‧乾隆三十八年﹝公元1773年﹞編纂四庫全書，《九章算術》亦為其一。其提要曰：
《九章算術》九卷，蓋《周禮》保氏之遺法，不知何人所傳。《永樂大典》引《古今事通》曰：王孝通言周公制禮，有《九章》之名，其理幽而微，其形秘而約，張蒼刪補殘缺，校其條目，頗與古術不同云云。
舊本有注，題曰劉徽所作。考《晉書》稱魏‧景元四年，劉徽注《九章》，然注中所云“晉武庫銅斛”，則徽入晉之後，又有增損矣。
又有注釋，題曰李淳風所作。考《唐書》稱淳風等奉詔注《九章算術》，為《算經十書》之首。國子監置算學生三十人，習《九章》及《海島算經》，共限三歲，蓋即是時作也。
《九章算術‧卷二》為〈粟米〉，此章主要談及粟米與其他穀物或飯食作等值之轉換。
其意指若以粟米換其他穀物或飯食，則可依本章所提出之率而為之。
今以粟米為 50 為標準，他穀或飯食之轉換率如下：
粟率五十，糲米三十，稗米二十七，糳米二十四，御米二十一，
小䵂十三半，大䵂五十四，糲飯七十五，稗飯五十四，糳飯四十八，
御飯四十二，菽、荅、麻、麥各四十五，稻六十，豉六十三，
飧九十，熟菽一百三半，櫱一百七十五。
“今有”術曰：以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一。
其意指粟率五十，則可得糲米三十，或粺米二十七，或糳米二十四，其餘類推。
以下為《九章算術‧卷二》相關之問﹝以下之算法皆採用筆者所謂之“約簡率”或“整數率”，若無此二率，則用原法﹞：
筆者有文名為〈《九章算術》之粟米法初等問題詳解〉 及《九章算術》之粟米四穀法初等問題詳解﹝2﹞，本文為其延續。以下各題均屬初等比例數學，顯淺易明。
(15)
今有粟七斗五升七分升之四，欲為稻。問：得幾何？
答曰：為稻九斗三十五分升之二十四。
術曰：以粟求稻，六之，五而一。
解：
稻，又稱稻穀、稻米，常簡稱為米。根據已知條件，粟率五十，則可得稻六十﹝見前文﹞。以粟易稻，可列成以下之比例表：
|
粟之變易 |
粟 |
稻 |
|
率 |
所有率 |
所求率 |
|
原法 |
50 |
60 |
|
約簡率 |
5 |
6 |
|
粟量及變易物量 |
a |
x |
50：60 可以以 10 約簡為5：6，是為約簡率，以此率作計算。七斗五升七分升之四可化為 75
升，若粟量為 a 單位，是為“所有數”﹝下同﹞，而所得之稻為 x 單位，依比例算法即可知：
x =
，若 a = 75
=
﹝升﹞，
即 x =
×
=
= 90
﹝升﹞。
以上之步驟即“以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一”。
又 90
升 = 9 斗
升。
“六之，五而一。”指乘以 6 及除以 5。
李淳風等按曰：
淳風等按：稻率六十，亦約二率而乘除。
指以 10 約簡50：60為5：6 方作乘除。
答：為稻 9 斗
升。
(16)
今有粟七斗八升，欲為豉。問：得幾何？
答曰：為豉九斗八升二十五分升之七。
術曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。
解：
《九章算術》李籍音義曰：
豉，是義切。鹽豉也。
“鹽豉”，即豆豉，用煮熟之黃豆發酵而成。豆豉通常以黃豆為主要原料，利用毛黴、麯黴以分解蛋白質至某程度時，再加鹽、酒及以乾燥等法，抑制酶之活動力，令其發酵延遲而製成。鹽豉乃古老之食品，漢‧應璩《百一詩‧其十五》曰：
太官有餘廚，大小無不賣。豈徒脯與糗，醯醢及鹽豉
根據已知條件，粟率五十，則可得豉六十三﹝見前文﹞。可列成以下之比例表：
|
粟之變易 |
粟 |
豉 |
|
率 |
所有率 |
所求率 |
|
原法 |
50 |
63 |
|
約簡率 |
50 |
63 |
|
粟量及變易物量 |
a |
x |
本題無約簡率。若粟量為 a 單位，而所得之豉為 x 單位，依比例算法即可知：
x =
，若 a = 78﹝升﹞。
即 x =
× 78 =
= 98
﹝升﹞。98
升 = 9 斗 8
升。
“六十三之，五十而一。”指乘以63 及除以 50。
答：為豉 9 斗 8
升。
(17)
今有粟五斗五升，欲為飧。問：得幾何？
答曰：為飧九斗九升。
術曰：以粟求飧，九之，五而一。
解：
《九章算術》李籍音義曰：
飧，音孫。說文曰：餔也。
飧，現代之粵語讀音亦為“孫”，陰平聲。“餔”，晚飯也。故飧亦可指晚飯，但亦泛指飯食。《玉篇》：“水和飯也。”
根據已知條件，粟率五十，則可得飧九十﹝見前﹞。可列成以下之比例表：
|
粟之變易 |
粟 |
飧 |
|
率 |
所有率 |
所求率 |
|
原法 |
50 |
90 |
|
約簡率 |
5 |
9 |
|
粟量及變易物量 |
a |
x |
50：90 可以以 10 約簡為5：9，是為約簡率，以此率作計算。若粟量為 a 單位，而所得之飧為 x 單位，依比例算法即可知：
x =
，若 a = 55﹝升﹞。
即 x =
× 55 = 99﹝升﹞。99升 = 9 斗 9升。
李淳風等按曰：
淳風等按：飧率九十，退位，與求稻多同。
50：90 可以以 10 約簡為5：9，是為“退位”。求稻之比為 50：60 可以以 10 約簡為5：6，亦為“退位”，故曰“與求稻多同”。
“九之，五而一。”指乘以 9 及除以 5。
答：為飧 9 斗 9 升。
(18)
今有粟四斗，欲為熟菽。問：得幾何？
答曰：為熟菽八斗二升五分升之四。
術曰：以粟求熟菽，二百七之，百而一。
解：
《九章算術》李籍音義曰：
﹝菽﹞，音叔。大豆也。
熟菽，已熟之大豆也。
根據已知條件，粟率五十，則可得熟菽六十三﹝見前﹞。可列成以下之比例表：
|
粟之變易 |
粟 |
熟菽 |
|
率 |
所有率 |
所求率 |
|
原法 |
50 |
103 |
|
整數率 |
100 |
207 |
|
粟量及變易物量 |
a |
x |
50：103
可以以 2 乘之而為 100：207，是為整數率，以此率作計算比小數方便。若粟量為 a 單位，而所得之熟菽為 x 單位，依比例算法即可知：
x =
，若 a = 40﹝升﹞，則：
x =
× 40 =
= 82
﹝升﹞。82
升 = 8 斗 2
升。
李淳風等按曰：
淳風等按：熟菽之率一百三半。半者，其母二，故以母二通之。所求之率既被二乘，所有之率隨而俱長，故以二百七之，百而一。
50：103
可以以 2 乘之而為 100：207，是為“以母二通之”。
“二百七之，百而一。”指乘以 207 及除以 100。
答：為熟菽8 斗 2
升。
(19)
今有粟二斗，欲為糵。問：得幾何？
答曰：為糵七斗。
術曰：以粟求糵，七之，二而一。
解：
《九章算術》李籍音義曰：
﹝糵﹞，魚列切。麯糵也。《說文》曰：米牙。
《廣韻》亦作“魚列切”，音“臬”。糵，酒麴也，釀酒用之發酵劑也。米牙者，生芽之米也。糵，與“孽”同。
根據已知條件，粟率五十，則可得糵一百七十五﹝見前﹞。可列成以下之比例表：
|
粟之變易 |
粟 |
糵 |
|
率 |
所有率 |
所求率 |
|
原法 |
50 |
175 |
|
約簡率 |
2 |
7 |
|
粟量及變易物量 |
a |
x |
50：175 可以以 25 約簡為2：7，是為約簡率，以此率作計算。若粟量為 a 單位，而所得之糵為 x 單位，依比例算法即可知：
x =
，若 a = 20﹝升﹞。
即 x =
× 20 = 70﹝升﹞。70升 = 7 斗。
李淳風等按曰：
淳風等按：糵率一百七十有五，合以此數乘其本粟。術欲從省，先以等數二十五約之，所求之率得七，所有之率得二，故七乘二除。
意指 50：175 可以以 25 約簡為2：7，是為“從省”。
“七之，二而一。”指乘以 7 及除以 2。
答：為糵 7 斗。