包老师数学电影系列《从有理数到实数（二）》

负数，有理数，无理数，实数…

数的概念不断扩张，

它们彼此又有何逻辑？

不同角度看“有理数”

用“rational number”译文解释“有理数”的由来，仅是一种说法而已，究其本质，有理数就指能够表示成整数比的数，即:

整数和分数统称有理数，亦可以归结为“整数比”.

因为分数本身就可以看成两个整数之比，如果将整数看作分母为“1”的整数比（其它两个整数比也可），两者在此即可统一.

显然，所有的有理数都可以表示成小数.

反之，所有的小数都是有理数吗？

从小数的构成出发，考察各类小数能否表示成“整数比”（分数形式），不难发现，有限小数和无限循环小数都能够表示成整数比，而无限不循环小数无法表示成整数比.

因此，基于小数，有理数就是有限小数或无限循环小数，无理数就是无限不循环小数（史宁中《数学思想概论》.东北师大出版社，2008.99）.

实数集

把一些数放在一起，就组成了数的集合，简称数集.

正整数和零组成的自然数集合；正整数，零和负整数组成了整数集合；正分数和负分数组成了分数集合；整数和分数组成了有理数集合；无理数出现后，有理数和无理数组成了实数集合.

例如，把下列各数找到各自的集合：

我们可以得到这样的结果：

数的变化与平衡

从某种角度上看，为了更好的表示相反意义的量，我们引入了负数，数的概念扩大到有理数范畴.

又由于“无法表示成整数比”的无限不循环小数出现，人们引入了无理数，数的范围进一步扩大至实数范畴.

但数的故事并非仅此而已，事实上，在数的发展过程中，概念的扩大并不是沿着历史的年轮而循序渐进的.

“0”的符号姗姗来迟，考古的最新证据也仅指向公元3世纪前后的古印度，而早在公元前5世纪，无理数就已在古希腊引发了第一次数学危机.

负数在不同文明的萌芽主要是因为“小数无法减去大数”或“解方程时无法解释负根的存在”，有人说人类发现负数花了上千年，而承认负数的存在同样花了上千年，欧洲直到16世纪才慢慢认同负数的存在，与此同时，虚数的概念已被笛卡尔提出，数已步入复数范畴…

正是站在前人的肩膀上，我们才得以顺着一定的轨迹去探求这几千年的文明成果！

有了历史的沉淀，西子湖畔显得分外美丽，雷峰塔印证了岁月的流逝，也见证着历史的兴衰.

西湖美景三月天，春雨如酒柳如烟！

现在有个问题：雷峰塔塔高71.679米，如果身处湖畔，那塔的高度该如何表示？

如果站在雷锋塔的四层，湖面的高度又该如何表示呢？

改变基准，会打破一种平衡，数的世界也将发生变化.

数学如此，生活亦然！

附：全片欣赏

《从有理数到实数》全片