2021国际Zhautykov奥林匹克 数学组 第一天 中文翻译

这是哈萨克斯坦的一个国际比赛, 由于疫情改在线上进行.

比赛时间: 2021年1月7-12日.

第一天

1.证明存在正整数 , 使得 被除所得的余数大于.

2.如图， 圆内接凸六边形ABCDEF中， BC=EF，CD=AF. 对角线AC,BF交于Q, EC,DF交于P. 在线段DF,BF上分别取点R,S, 使得FR=DP, FS=BQ. 线段PS和RQ交于T. 求证: CT平分BD.

3.给定n≥2为正整数. 在一个n×n的方格表的每个单元格中填入一个实数. 使得,若从中取n个单元格, 使这n个单元格两两不同行, 两两不同列, 则这n个单元格中的实数的和必为非负实数.下面对这个方格表进行如下操作: 在每一步中, 选定任意一行,任意一列, 以及任意一个实数a. 对该行的每个单元格中的实数加上a, 该列的每个单元格中的实数减去a(这样方格表中所有数之和不变).

求证: 可以通过若干步操作, 使得每个单元格中的数字非负.

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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。