【模型研究】一线三等角模型全梳理
一线三等角定义：
指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，通常称为“K字模型”，也有部分地方称为“M形图”。
起源与基本类型
DE绕A点旋转，从外到内，从一般位置到特殊位置。
基本类型：
同侧“一线三等角”
异侧“一线三等角”
性质
1.一般情况下，如下左图，易得△AEC∽△BDE.
2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等。（若CE=ED，则△AEC≌△BDE）
3.中点型“一线三等角”
如右上图，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.
4.“一线三等角”的各种变式
应用
1.“一线三等角”应用的三种情况。
a.图形中已经存在一线三等角，直接应用模型解题；
b.图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；
c.图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题.
2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段。
3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似。
如上图，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角，当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角与线段的关系，过C、D两点作直线l的垂线是必不可少的。
模型建立
例 如图2，已知E是矩形ABCD的边AB上一点， EF⊥DE交BC于点F，
试说明：ΔADE∽ΔBFE。
分析：要证明ΔADE与ΔBFE相似，已经知道∠A=∠B=90°，只需要再找出另外一对相等的角即可。
解答：在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°
∵EF⊥DE
∴∠DEF=90°，∠2 ∠3=90°
又 ∵∠1 ∠3=90°
∴∠1=∠2
∴ΔADE∽ΔBFE
小结：此时，在直线AB上，∠A=∠DEF=∠B=90°，一条线上有3个直角，
两边的ΔADE与ΔBFE相似。这个相似的基本图形像字母K，可以称为“K”型相似，但更因为图形的结构特征是一条线上有3个垂直关系，也常被称为“一线三垂直”。通过例题，我们已经证明，“一线三垂直”可以得出相似三角形，那普通的3个等角又会怎样呢？
变式1
如图3，已知等边三角形ABC， 点D、E分别为BC，AC上的点，∠ADE=60º。
（1） 图中有相似三角形吗？如果有，请说明理由。
（2） 如图4，若将∠ADE在ΔABC的内部（∠ADE两边不与BC重合）绕点D逆时针旋转一定的角度，得到的两三角形仍相似吗？
分析：
（1）此时，在直线BC上，∠B=∠ADE=∠C=60°，一条线上有3个等角，两边的ΔABD与ΔDEC相似吗？
（2）旋转后，变化中的不变量是什么？ΔABD与ΔDEC相似吗？
解答：（1）在等边三角形ABC中，
∠B=∠C=60°
∵∠ADE=60º
∴∠2 ∠3=120°
又 ∵∠1 ∠3=120°
∴∠1=∠2
∴ΔABD∽ΔDCE
另外：ΔADE与ΔACD也相似。
∵∠DAE=∠CAD（公共角）
∠ADE=60º=∠DCA
∴ΔADE∽ΔACD
（2）旋转后，变化中的不变量是∠ADE的大小
那么，依然可以有：
∵∠2 ∠3=120°
又 ∵∠1 ∠3=120°
∴∠1=∠2
∴ΔABD∽ΔDCE
小结：
此时，一条线上的三个等角由90°变成了60°，两边的三角形依然相似。那么，更一般的等角呢？
变式2
如图5，隐藏变式1图形中的线段AE，在得到的新图形中，
（1） 如果∠B=∠C=∠ADE=50º，图中有相似三角形吗？
（2）如图6，若∠B=∠C=∠ADE=∠α，∠α为任意角，还有相似三角形吗？
分析：等角由90°变为60°，三角形依然相似。再变为50º，任意角α，虽然等角的大小发生了变化，但等量关系没变。
解答：
（1） ∵∠B=∠C=∠ADE=50º
∴∠2 ∠3=130°
又 ∵∠1 ∠3=130°
∴∠1=∠2
∴ΔABD∽ΔDCE
（2）
∵∠B=∠C=∠ADE=α
∴∠2 ∠3=180°-α
又 ∵∠1 ∠3=180°-α
∴∠1=∠2
∴ΔABD∽ΔDCE
小结：现在，我们已经从特殊角过渡到任意角，证明在一条线上，只要有3个等角，两边的三角形就一定相似。这个相似的基本模型就是“一线三等角”。
模型应用
打开我们的新年礼包：
已知，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（ ）
分析：观察这个图形， ∠α不是特殊角，要求sinα的值，首先要把角α放在一个直角三角形中，于是过点B作垂线，构造直角三角形ABF。又已知△ABC是等腰直角三角形，要用到∠ACB 为直角和AC=CB的特殊条件，及平行线之间的等距条件，所以分别过点A、B作垂线，构造“一线三等角”的相似基本图形。
解答：由“一线三等角”，得ΔACD∽ΔCBE
由AC=AB，得ΔACD≌ΔCBE， 由平行线等距，可设平行线间的距离为d，
小结：在数学中，我们常通过模型来建立数量之间的关系或图形间的联系，本题中，通过建立“一线三等角”这种相似的基本模型可以巧妙的使问题得解。
（2010奉贤一模23）如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=4， M是边AB的中点，E、G分别是边AC、BC上的一点，∠EMG＝45°,AC与MG的延长线相交于点F， （1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对； （2）联结结EG，当 AE＝3时，求EG的长．
（2001上海中考25） 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2． （1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A． ①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长． （2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么 ①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当CE＝1时，写出AP的长．
（2012长宁一模24）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是射线DA上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角中的一边始终经过点C，另一直角边交射线BA于点E． （1）判断△EAP与△PDC一定相似吗？请证明你的结论； （2）设PD=x，AE=y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域； （3）是否存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC周长的2倍？若存在，请求出PD的长度；若不存在请简要说明理由．
（2009·嘉定区一模25）（1）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=∠ABC． ①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长； ②若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）正方形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90度．当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）．
（2016崇明一模18）如图，等边△ABC中，D是BC边上的一点，且BD：DC=1:3，把△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处．那么AM/AN的值为
（2015长宁一模25）如图，已知△ABC是等边三角形，AB=4，D是AC边上一动点（不与A、C点重合），EF垂直平分BD，分别交AB、BC于点E、F，设CD=x，AE=y. （1）求证：△AED∽△CDF； （2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，当EH=1时，求线段CD的长.
（2012闵行二模25）已知：如图，AB⊥BC，AD // BC， AB = 3，AD = 2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x． （1）...........
（2）...........
（3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．
如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，且BP=2，将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E。 （1）求证△BPD∽△CEP （2）是否存在这样的位置，△PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由
如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），点D是点C关于原点的对称点，联结BD，点E是x轴上的一个动点，设点E的坐标为（m，0），过点E作x轴的垂线l交抛物线于点P． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当点E在线段OB上运动时，直线l交BD于点Q，当四边形CDQP是平行四边形时，求m的值； （3）是否存在点P，使△BDP是不以BD为斜边的直角三角形？如果存在请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
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