老子的“道”是老子哲学展开的基石,《孙子兵法》开篇通过“五事七计”来预测战争的胜负,五事之首就是“道”,孙子的“道”指的是“民心向背”,政治问题,正如孟子所说“天时不如地利,地利不如人和”,“人和”就指的是“民心向背”,得道多助,失道寡助的“道”指的也是“民心向背”。儒家和兵家在这个地方是相通的。
那数学解题的“道”又是什么呢?我们认为是“数学理解”,通过解题实现对数学更深的理解,对数学深刻的理解提高解决问题的能力。那怎么拓展和深化自己对数学的理解?那我们面临的第一个问题就是“数学是什么?”,仁者见仁智者见智,恩格斯认为“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”,创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派则认为:数学,至少纯数学,是研究抽象结构的理论,他们认为数学有三种母结构:代数结构(群、环、域、、、、、、)、序结构(偏序、全序、、、、、、)、拓扑结构。我们来看两个例子,在哥尼斯堡的一个公园里,有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来,问是否可能从这四块陆地中任一块出发,恰好通过每座桥一次,再回到起点?
问题的关键不在于桥的长度,桥之间的距离,而在于桥是怎么连接在一起的,欧拉把问题归结为如上图的"一笔画"问题,而这个问题的解决就开创了图论和几何拓扑学。传统的欧几里得几何研究的对象是直线段、三角形、圆、立方体、圆柱等规则的几何体,微积分的运用使得几何研究可扩充到光滑的曲线、曲面等对象,我们熟悉的人造物品大都使用这种规则或光滑的形状,比如建筑、家具、汽车等等。但是在自然界和科学界中遇到的许多对象并非如此规则和光滑,如参差的灌木、起伏的山峦、变幻的云彩、曲折的海岸线等等,它们太过复杂和不规则,难以用传统的几何形状来描述,被称为大自然的几何学——分形,但它们又有一个明显的特征——统计自相似性:其任何一小部分和整体看上去很相像。半岛上有小的半岛、海湾里有小的海湾;小的半岛有更小的半岛、小的海湾里有更小的海湾。数学不仅仅是数与形,对数学的认知应该放到整个数学的发展过程中去感悟,把对“数学是什么”的追问带到每一个学习的阶段,尽管不同的人对数学有不同的认知,或许自己水平有限,但我们都力求给一个自己的答案:数学是描述宇宙的语言,用数量关系和空间形式呈现万物存在的模式(数量、空间、结构、变化等),数学是方法论,是科学和思维的工具。数学家都对数学根据自己的工作,对数学都有着深刻的理解,比如吴文俊说:“数学的每一个发展都是人脑机械化。”他的机器证明就力求使得数学的研究变为程序化的操作步骤。拉马努金说“如果一个等式不能传递神的意思,它将毫无意义。”从他那里,我们感悟到数学的自然、和谐和美。跟随大师的思想,有助于我们从不同层面对数学深入的理解。在《解析几何系统性突破》通过追溯 Descartes 和 Fermat 在创立解析几何时的心路历程,以期望能够更好地理解解析几何和重新审视解析几何的高考题目。
二、关注课改精神、关注不同的教育理念
课改有很多非常精彩的理念,引领着每一章的学习,教材也发生了变化,以前的教材从知识本身出发,注重知识的系统性和严谨性,其领袖人物是数学家。新教材以学生为本位,注重知识的形成过程,培养学生的探究能力,其领袖人物是教材教法的专家。“大众数学”是课改的理念,新教材作了很多调整很多都是关注大众学习的过程,比如舍弃了导数的极限定义,让学生直观感知;把统计放在概率之前,突出从统计的角度去认识概率,把计数原理调整到概率之后,尽量避免计数原理的难点冲淡了学生对概率的思想的理解。再比如新教材在立体几何这个地方先从宏观讲几何体的结构,再从微观角度讲点线面的位置关系,这符合我们的认知规律,比如迎面走来一个美女,我们惊叫:“身材真好,眼睛真大。”,这就是“宏观看结构,微观抓关键”,我们都不自觉地在生活中反复应用了。这一改变当然把直观感知能力提得更高,这符合立体几何的学习。这一改变就要求我们在思考点线面位置关系的时候,要不断回到几何体中去思考,这可以避免“只见树木,不见森林”,让空间想象能力有了一个很好的落脚点,不仅降低了学习难度,更有利于空间观念的建立。贯彻新课改的理念,不是照搬,而是根据学生的情况灵活选择相应的方式,甚至调整教学的内容、顺序。就像数学的发展一样,总是在一个领域产生了很多的新的成果,才成为一个数学的分支,注重探究能力的发展,必然会在一定程度上带来知识的零碎化,这时候需要兼顾整个知识结构的构建。人教 A 版的教材注重的是教法,体现的是教学的艺术性,沪教版是华东师大的教授主编,苏教版是单墫主编,读他们的书,读他们的教材,在观点的交锋中,结合具体的教学实践,感悟数学教与学的真谛。
三、关注高考命题思路
研究全国卷的高考题,不仅仅限于解法,还在于理解命题专家考查的目标、命制的过程、解题的思路和试题评价,这对于解题指导是直接的,在这些之中,就蕴含着命题者对数学的理解、教学的理解。比如:(2015 全国新课标 2 卷第 10 题)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记<BOP=x,将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x),则 y=f(x)的图像大致为( )
【考试中心试题评价】三角函数作为高中数学主题内容之一,呈现出与其他基本初等函数不一样的特征。在高中数学课程中,三角函数、解三角形与三角恒等变换是相对独立的三部分。三角函数首先是几何的,其次是函数的,还是运算的(三角恒等变换)。本题中,作为几何的三角函数是为了解决图形的几何度量——距离的计算,在得到距离化的形式表征后,作为运算主体的三角函数进入考生的思维视野。这需要考生能全面地认识与把握三角函数的三个组成部分,实现三者之间的互相转换。
本题的题干似乎与三角函数毫不相干,但考生在计算距离时会发现,其形式化表征就是三角函数,通过分析该三角函数的图像与性质,即可解决问题,解决问题的思维方法是丰富的,给不同的思维范式(代数思维和几何思维)的考生提供了不同的发挥空间。
【启发】正是考试中心对三角这一部分知识的理解,全国卷关于三角的解答题几乎都是综合了这三块知识,虽然在恒等变换的考查中注重角关系,但在全国卷没有看到形如“已知
这类“凑角”的题目。对知识理解决定了命题思路。
再比如:(2015 年全国 2 卷第 14 题)若 x,y 满足约束条件：
则 z=x+y的最大值为
【考试中心试题评价】试题面向全体考生,侧重知识和方法的应用,有效检测考生对线性规划问题的理解和应用。
首先,应该明确,无论用哪种思路解决问题,都应该有类似思路 1 表现的那样,判断可行域的范围,但有些考生在做题时,会不恰当地省略判断二元一次不等式组所表示的区域这一步骤,而是仅仅求出构成可行域边界所对应三条直线的三个交点,然后将三个交点的坐标依次代入目标函数,再确定目标函数的最值。使用这种方法,往往是因为考生希望回避作图,且不恰当地“归纳”了此类问题的“规律”:最值点出现在三个交点中的一个点上,于是将问题“简化”为三个二元一次方程两两求交点的问题,再逐一将三个交点的坐标代入目标函数,哪个数最大(或)最小,哪个就是待求的最值。考生应该明确,这个“规律”不具有一般性,虽然大部分线性规划试题所涉及的可行域确实是封闭图形内部,但在实际问题中,有
很多具体问题的线性可行域是三条或更多条直线界定的开放区域。比如将此题的约束条件改为：
则二元一次不等式组所对应的平面区域就是下图所示的直线
的上方和
的下方这三个区域的交集部分,而点 C 并不在这个可行域中,过 B(0,1)的直线 l 才是使得目标函数取到最大值时对应的直线,相应地,最大值
。因此,充分应用数形结合思想(思路2)解决问题的方法,更值得选用。
其次,在有些考生选用类似思路 2 的方法解题时,也会出现一些问题,比如:在作可行域边界所对应的直线的图形时,一些几何特征(如在坐标轴上的截距、斜率等)表现得很不准确,有时甚至画错了彼此之间的相对位置,给进一步解决问题带来了不必要的麻烦,甚至导致出现判断错误。由此可见,本题对考生的作图和读图能力以及数形结合能力皆有切实的检测。例.(2016 全国 1 卷第 16 题)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元。该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元。
基于对考试中心告诫的忽视,这个题在广东的平均得分仅 0.91。
【考试中心的试题评价】试题面向全体考生,侧重知识和方法的应用,有效检测考生对线性规划问题的理解,同时注重运用数学手段解决实际问题。在解题的过程中,有一个环节值得重视。由本题的实际情况可知,尽管没有明显给出,本题的约束条件还有
再结合三条直线得到可行域。但有些考生在做题时,往往回避作可行区域图,不恰当地省略了判断二元一次不等式组所表示的区域这一步骤,而是仅仅根据直线方程求出“可行域”边界所对应的三条直线的三个交点,然后将三个交点坐标依次代入目标函数,再确定目标函数的最值。本题既考查了考生的知识,有对中学教学有很强的指导作用,使得以后的教学中,可行区域图的概念会得到重视,这才是学习线性规划的本意。
【启发】考试中心对教学的理解是透彻的、深刻的,命题的目的就是要积极“引导教学”,树好“一面旗”。
四、融入哲学思考
数学讲到最后,往往就在讲处理问题的一般方法,哲学是系统化的世界观和方法论,揭示整个世界发展的一般规律,为人们认识世界改造世界提供方法论的指导,数学思想是哲学的一些理论的具体化,对哲学的学习,会潜移默化地影响着数学的学习。很多著名的数学家也是哲学家。数学是思维的体操,使人聪明的学科,哲学是“爱智慧”,融入哲学家和数学的智慧,使数学的学习和解题活动闪烁着智慧的火花。
节选自《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》
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