破解方程应用题难点
一、方程的解
例1：
分析：
解答：
结合分析，易知本题选D．
例2：
分析：
初看本题，有同学选择把x＝2代入第一个方程，求出b，再代入第二个方程，求y，这种方法是通法，但显得十分繁琐，仔细分析，我们不难发现，前后两个方程的区别仅仅在于，后者只是把前者中的字母x，换成了代数式y＋1，这时，我们只要掌握整体思想，把y＋1看作一个整体，问题就迎刃而解．
解答：
二、方案选择
例3：
某书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．某学生第一次去购书付款72元，第二次去购书享受八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节约了34元．则该学生第二次购书实际付款_________元．
分析：
显然，根据第一次购书的实际价格，我们可以求出原价，从而解设第二次购书的原价为x，将第二次购书的实际价格表示出来，利用两次节约的钱，建立方程，算出x后，还没完，别忘了是求第二次的实际价格！
解答：
例4：
旅行社组织了甲、乙两个旅游团到游乐场游玩，两团总报名人数为120人，其中甲团人数不超过50人，游乐场规定一次性购票50人以上可享受团队票.门票价格如下：
旅行社经过计算后发现，如果甲、乙两团合并成一个团队购票可以比分开购票节约300元．
(1)求甲、乙两团的报名人数；
(2)当天到达游乐场后发现团队票价格作了临时调整，团队票A每张降价a元，团队票B每张降价2a元，同时乙团队因故缺席了30人，此时甲、乙两团合并成一个团队购票可以比分开购票节约225元，求a的值．
分析：
(1)显然，甲团人数不足50，只能买散客票，但是，我们却不能确定乙团人数，因此，要分情况讨论，乙团可能买团队票A，也可能买团队票B．
(2)由于乙团缺席30人，则可知总人数为90，因此，此时乙团只能选择团队票A，而且，两团合并购票也只能选择团队票A，因此，节约的钱，实际就是甲团所有人节约的票价总额，即由单价80元，降为现在的(70－a)元．
解答：
(1)设乙团x人，则甲团(120－x)人，
①当70≤x≤100时，
70x＋80(120－x)－60×120＝300
解得，x＝210(舍去)；
②当x＞100时，
60x＋80(120－x)－60×120＝300
解得，x＝105，
答：甲团15人，乙团105人．
(2)
法1：105－30＝75人
120－30＝90人
15×80＋75 (70－a)－90(70－a)＝225，解得：a＝5．
法2：15×[80－(70－a)]＝225，解得：a＝5．
例5：
某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50%；乙种商品每件进价50元，售价80元
(1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品利润率为______．
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？
(3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
分析：
(1)本题不难，主要利用利润公式：售价－进价＝利润率×进价，建立方程即可．
(2)本题也不难，不再赘述．
(3)本题与上题类似，要注意小华购买乙种商品的原价，可能在第二档，也可能在第三档．
解答：
(1)设甲的进价为x元，
60－x＝50% x，
解得，x＝40．
答：甲的进价为40元/件；
乙商品的利润率为(80－50)÷50＝60%．
(2)设甲x件，则乙(50－x)件，
由题意得，40x＋50(50－x)＝2100，
解得，x＝40．
即购进甲商品40件，乙商品10件．
(3)设小华打折前应付款为y元，
①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，
由题意得，0.9y＝504，
解得，y＝560，560÷80＝7件
②打折前购物金额超过600元，
600×0.82＋(y－600)×0.3＝504，
解得，y＝640，640÷80＝8件
答：小华在该商场购买乙种商品件7件或8件．
三、行程问题
例6：
已知直线上有A、B两点，AB＝24．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿直线向左匀速运动；同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向右匀速运动，设点P运动时间为t(t＞0，单位：s)．当A、P、Q三个点中恰有一点到另外两点的距离相等时，求t的值．
分析：
显然，要使A、P、Q三个点中恰有一点到另外两点的距离相等，有2种可能，即有两个点重合，或者有一个点是另外两点的中点，因此，我们可以把这条直线看作数轴，设点B表示的数是a，则点A表示的数是a＋24，分别表示出t秒时，P，Q表示的数即可，接下来根据不同情况建立方程即可．
当然，在2种可能下，又可以细分为3种情况，具体来看解答．
解答：
例7：
如图，已知一周长为30cm的圆形轨道上有相距10cm的A、B两点(备注：圆形轨道上两点间的距离是指圆上这两点间的较短部分展直后的线段长)．动点P从A点出发，以acm/s的速度，在轨道上逆时针方向运动，与此同时，动点Q从B点出发，以3cm/s的速度，按同样的方向运动，设运动时间为t(s)，当t＝5时，动点P、Q第一次相遇．
(1)求a的值；
(2)若a＞3，则在P、Q第二次相遇前，当动点P、Q在轨道上相距12cm时，求t的值．
分析：
(1)显然，这是一个追及问题，但是，由于a未知，因此要分情况讨论，我们可以类似的把这个问题看成时针分针的何时重合的问题．
当a＜3，则Q追P，Q在P后10cm，
当a＞3，则P追Q，P在Q后(30－10)＝20cm．
(2)当a＞3，此时，我们又可以这样思考，变追及问题为距离越拉越大的问题，即将P在Q后20cm，看成P在Q前10cm，由于P的速度快，则领先距离越来越大，即领先12cm，领先18cm(看成落后12cm)，领先42cm(一圈＋12cm)，领先48cm(一圈＋18cm)．
解答：
(1)若a＜3，则5(3－a)＝0－(－10)，
解得，a＝1；
若a＞3，则5(a－3)＝0－(－20)，
解得，a＝7；
(2)∵a＞3，
∴a＝7，共有4种可能：
①7t－3t＝12－10，t＝0.5；
②7t－3t＝(30－12)－10，t＝2；
③7t－3t＝(30＋12)－10，t＝8；
④7t－3t＝[30＋(30－12)]－10，t＝9.5；
综上，t的值为0.5、2、8或9.5．