微积分传奇（2） | 缘起：割而又割穷竭法
作者：蒜泥学数学，山东理工大学数学与统计学院教师
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割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣．
——【魏晋】刘徽❞
功过是非比例论
割而又割穷竭法
穷竭法的哲学思想类似于我们中国古人的割圆术， 只不过，由于两个古老的智慧民族有着不同的数学传统，这一思想引发出两种不同的数学理论． 当然，由于我国古代数学到了明朝以后逐渐裹足不前，最终没有独立发展出系统的微积分理论， 所以我们还是回到古希腊，毕竟后来的微积分与古希腊的穷竭法有着清晰的继承关系．
还是回到古希腊吧．在古希腊世界，最早提出"穷竭法"的人其实不是欧多克索斯，而是安提丰和希波克拉迪斯． 不过他们仅仅提出了这个思想而已，既没有发展成为数学理论，更没有严谨地数学证明． 而欧多克索斯是做成这件事的第一人，他给出了相关理论和方法的比较严格的数学证明．
首先，欧多克索斯从他提出的比例论出发，比较严格地证明了一个原理， 这个原理被收录于欧几里得《几何原本》的第十卷中，是第十卷的第一个命题， 我们姑且称之为穷竭法原理吧．
命题 1（《几何原本》第十卷）:对于两个量和，不妨设．若减去不少于其一半的量，其余量再减去不少于余量一半的量，并继续反复重复执行这一步骤，就能使所余的量小于．
哦，有种似曾相识的感觉呢......对！我国古代哲学家庄子也说过这个原理：
一尺之椎，日取其半，万世不竭．
与庄子不同的是，欧多克索斯从他创立的比例论出发，对穷竭法原理给出了比较严格的证明． 但是我们这里要想系统地介绍比例论、再用相关结论证明穷竭法原理， 这实在是件费时费力的事情， 我们这里不便全面介绍．如果你感兴趣，可以去翻阅《几何原本》． 不过需要注意的是这里的用词，我说的是"比较严格"， 之所以这样说，是因为这个证明中有一个不大不小的漏洞．这个漏洞在于：无论欧多克索斯还是欧几里得都没有意识到的是：他们实际上默认了一件事情． 这个漏洞被后来的阿基米德发现了， 他在自己的书中把他们所默认的这件事整理成了一条公理，后人称之为阿基米德公理． 然而，阿基米德却谦逊地说，欧多克索斯其实是知道这条公理的， 只是欧多克索斯误以为它是一条极易证明的引理罢了．
这是后话，我们暂且按下不表， 现在还是回来看看穷竭法原理本身吧． 为了更便于理解，我们就用现代数学更常见的方式来表述一下这个原理吧．
首先，我们已经知道了，古希腊人所谓的"量"， 相当于我们现在的正实数（欧洲人很晚才承认负数和零）． 换句话说，原命题中的和其实可以看作就是两个正实数．
其次，我们把在第次减量过程中被减去的量记作． 这样我们就得到了一个数列．这个数列有什么特点呢？我们从第一项开始看． 按照原命题的意思，是一个不小于一半的量，也就是说．另一方面，这里还有一个隐藏的信息，由于古希腊人不承认负数和零， 所以当他们做减法的时候，其言下之意是默认的． 因此，当我们再去看原命题的时候就会发现，原命题要求从中减掉，所以这里默认了．稍加总结就会发现，就是一个满足如下要求的正实数：
那么第二项、第三项、甚至第项呢？为了便于表述，我们记数列的前项之和为，即
特别地，由于第一次减量之前没有发生过减量， 所以为了方便起见，我们记． 按照原命题的意思， 第次减量过程所减去的量应该不小于第次减量后的余量的一半， 而第次减量后的余量是，所以
同样地，由于古希腊人不承认负数和零，所以此处默认了
总结来说，就是：对于所有的，总是满足
第三，穷竭法原理断言：不论取一个什么样的正实数， 只要你做了足够多次减量，那么一定在某次减量之后，你会发现余量已经小于了． 如果我们设恰好在第次减量后实现了这个目标，那也就是说，． 这里又一次隐藏了一个重要信息：这个虽然是一个你事先取定的正实数， 但是你可以想怎么取就怎么取． 而如果你想把取成一个比较大的正实数， 那么这显然是很无聊的，因为越大，你就越容易取到你想要的． 所以，让尽可能小才是富有挑战的． 设想一下，如果小了会怎么样？
越小，就会越靠近．
实际上，古代中国的数学家们也在晚一些时候发现了这一点． 只不过在此之后，由于古代中国和古代希腊有着不同的数学传统， 所以二者走上不同的发展道路． 古代中国人更倾向于设计算法并用于计算， 所以当中国古人发现了上面这一点的时候， 他们更倾向于在逼迫非常小的前提下，用作的近似值， 其间固然有些许演绎推理 （是的，我相信中国古人是懂得一些演绎推理的， 不然很难想象在没有演绎推理的情况下怎么实现那么精准而复杂的计算） 但主要任务还是计算． 而古希腊人是不擅长计算的（他们甚至刻意回避实数）， 相反，他们太擅长逻辑推导了！他们，尤其是我们的主人公欧多克索斯发现 这个工具正好可以间接地证明一些棘手的命题．
其实很难说东西方谁的处理更优良． 没有相对完善演绎推理肯定无法形成现代数学，从这个角度来讲，古希腊更强． 但是欧多克索斯的穷竭法实际上极其繁琐．从微积分历史上看， 正是由于后人暂时放弃了严格证明，才促使牛顿和莱布尼兹发明了微积分；而我们现在所学习的非常严密的微积分体系，其实是牛顿和莱布尼兹之后的二三百年间补充回来的． 从这个角度来说，中国古人一定程度上又走在了前面．
一言难尽．有时候，我会想，如果中国和希腊是邻国那该多好，相互之间正好进行一下学术交流，取长补短． 所以说，无论经济、还是文化和科技，自我封闭是愚蠢的，只有交流才是正道！
呃，又扯远了，还是回来看穷竭法原理． 我们已经分析了三条了，我们还能看出什么呢？好吧，既然大家都是中国人，那么也许中国人的思路更有助于我们理解． 假如我们现在按照中国人的想法来做，不追求尽善尽美， 只是把看作的一个近似值，那么在这里起什么作用呢？
其实这个事情有点像工厂里的质量监控． 比如，我们现在要加工一个零件，其长度为，但是实际加工总不会是完美无缺的． 假如工人实际加工出来的尺寸就是，那么怎么判断这个产品是否合格呢？我们可以事前确定一个可以允许的误差，比如，那么只要就算是合格的． 因此，在穷竭法原理中，我们事先取定正实数就是用来控制误差的．
再进一步，穷竭法原理中的是你可以随心所欲地取来的． 因此，穷竭法原理实际上就是说：
不管你事先要求多么小的误差， 只要你按照我穷竭法规定的办法每次取一部分， 而且取的次数足够多，那么最后总能达到我要的合格标准．
嗯，如果达不到误差要求，就再多取几次，总有一款适合你！这么朴素的想法其实就是微积分的本质！
两千多年以后，当微积分真正在柯西和魏尔斯特拉斯等人手中实现严格化的时候， 对他们所定义的极限而言，其根本思想就在于此． 经过了两千多年的奔波，人类绕好大一个圈，竟然在故事发生的地方找到了终点， 颇具武侠小说般的戏剧性．
好了，说了这么多，我们终于可以用现代数学的语言把穷竭法原理整理一下了．
定理 1 (穷竭法原理).设是一个正实数，是一个正实数数列，满足：
其中，表示数列的前项和；特别地，． 那么，对任意一个小于的正实数来说， 总存在一个下标，使得：当时，
熟悉微积分的朋友已经看出来，它确实与现代数学中定义极限的-语言非常接近． 那么，能不能说欧多克索斯发明了微积分呢？
不能！
第一，他并没有创建完整的微积分理论体系，他也没有真正地使用-语言；第二，他的目的不是用穷竭法去算极限、导数或积分，而是在证明某些难题的时候，用穷竭法绕开一些无法构造或表达不清的对象，从而建立一种间接的证明方法，因此，与其说穷竭法是微积分，不如说穷竭法是一种类似于反证法之类的证明方法；第三，穷竭法证明的操作非常繁琐，远不是现在的微积分所能比拟的，毕竟现在的微积分是非常简洁易学的，大部分智力正常的理工科大学生都不难掌握它，而在古希腊能熟练掌握穷竭法的人并不多．
那么，究竟怎么使用穷竭法证明几何问题呢？下一节我们就举一个例子．