又见“飞鱼模型” ——2021年第三届模型教学研讨会交流材料
又见“飞鱼模型”
——2021年第三届模型教学研讨会交流材料
王 桥
2021年第三届模型教学（网络）研讨会正在进行中。今天推出的文章，是本人8月10日晚在第三届模型教学研讨会期间和大家交流的相关内容。
一、模型回顾：
在“老王的数学”公众号文章《“飞鱼模型”——相似三角形的一个常见二级模型》中，我们建立了一个模型：
如图，若有①AB：BC=1：m；②ED：CD=1：n；③AO：OD=1：h；④OE：OB=1：k；其中，上述4个关系式中，任意两个作为已知条件，即可求出另外两个的值。这个模型，老王称之为“飞鱼模型”！
这类题目最常见的出题形式是：
1、已知①②求③；
2、已知①②求④；
3、已知①③求②；
4、已知①④求②；
5、已知②③求①；
6、已知②④求①.
7、已知①③求④；
8、已知①④求③；
9、已知②③求④；
10、已知②④求③；
11、已知③④求①；
12、已知③④求②.
“飞鱼模型”的基本策略：遇到“飞鱼模型”，胡乱做平行！！！
但是，胡乱作平行，方法太多，我有选择困难症咋办？——没关系，老王说了：咱们再缩小下包围圈——那就是“遇到飞鱼模型，常过鱼腰作鱼尾的平行线”！
二、模型运用：
关于“飞鱼模型”的应用，主要有以下三个层面：
（一）独具慧眼 直接运用
例1、(2021宿迁) 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BD交AE于点F，则△AFE面积的最大值是__________．
解析：不管三七二十一，先来个“胡乱作平行”再说！
如图2，过点D作DM∥BE，则BD：CD=EM：CM=1:2。不妨设EM=2k，则CM=4k，则EC=6k。∵AE:EC=1:2，所依AE=3k，∴AF:FD=AE：EM=3：2，则AD:FD=5:2.
如图3，∵BD:CD=AE:CE=1:2，则DE∥AB，∴根据等底等高的三角形面积相等，则S△ABD=S△ABE，∴S△AFE=S△BFD。∵BD的长为定值5/3，作FH⊥BC于H，∴只需△BDF中BD边上的高FH最大则△BFD的面积最大。作AG⊥BC于G，则FH∥AG，则FH：AD=FD：AD=2:5，显然，只需点A到BC的距离最大即可。
因为BA=4，则点A在以B为圆心，BA为半径的圆上，如图4。则当AB⊥BC时，点A到BC的距离最大。此时，FH:AB=FD:AD=2:5。∵AB=4，则FH=8/5，∴此时S△BFD=1/2×5/3×8/5=4/3，则△AFE面积的最大值是4/3。
（二）抽丝剥茧，灵活运用
例2、在△ABC中，E．F是BC边上的三等分点，BM是AC边上的中线，AE．AF分BM为三段的长分别是x．y．z，若这三段有x＞y＞z，求x：y：z的值；
解析：题目可以看做是两个“飞鱼模型”的叠加，我们不妨把它们分离出来。
如图，我们先分离出来一个“飞鱼模型”，则相当于知道了“AM：MC=1：1”和“BF：FC=2：1”，我们可以先求出BP：MP的值；
作MN∥AF交BC于点N，则易知FN=NC，∵BF：FC=2：1，则BP：MP=BF：FN=4：1；
如图，我们还可分离第二个“飞鱼模型”，即相当于知道了“AM：MC=1：1”和“BE：EC=1：2”，我们还可以求出BQ：MQ的值；
同理，作MG∥AE交BC于点G，则易知EG=GC，∵BE：EC=1：2，则BQ：MQ=BE：EG=1：1；
注：PPT上“x:(y+z)=4:1”应为“x:(x+y)=1:1”
（三）出神入化 构造运用
例3、在△ABC中，AD、CE为△ABC的中线，且交于O点。
（1）如图1，证明：AO=2OD
（2）过O点的直线分别交边AB、AC于G、H，如图2。。
解析：（1）直接套用模型——其实是直接套用方法：
过点D作DF∥CE交AB于点F，则易知BF=FE，∵BE：EA=1：1，则AO：OD=AE：EF=2：1；即AO=2OD。
对于第（2）问，则有点困难啊！没关系：“胸中有模型，胜似百万兵！”我们可以“构造”“飞鱼模型”啊！
如图，延长HG和CB交于点P，则我们“无中生有”人为“构造”了两个“飞鱼模型”啊（关于“构造”，详见《冲刺十招》第2讲“无中生有话'构造’”）！
貌似“转化”成和例2差不多了，咱们继续“分离”。
如图，建立第1个“飞鱼模型”，作DM∥PH交AC于点M，则易知AO：AD=AH：HM=2：1=6：3，∵AH：HC=3：2=6：4，则HM：MC=PD：DC=3：1；
如图，建立第2个“飞鱼模型”，作BN∥PO交AD于点N，∵BD=CD，∴PD：CD=PD：BD=3:1，即PB：BD=ON:：ND=2：1。∵AO：AD=2：1=6：3，∴AO：ON=6：2=AG：GB=3：1；
还没完，秒杀的技巧来了。
（四）万法归宗 重建模型
记得咱们曾经提到过那个“美女开劳斯莱斯”定理（梅涅劳斯定理），这个题是可以直接用“套路”的！——定理就是“套路”，“套路”就是模型！咱们运用“美女老师”定理秒一下这个例2和例3如何？
最后再来一道题目练练手：
例4、如图，已知，D、E、F分别为△ABC三边上的三个点，且，若CD、AE、BF两两分别相交于点M、N、P，求。
解析：有点图形密集恐惧症啊！别急，咱们先用前面讲到的分离了组合策略：
如图，我们仍然先分离出来一个“飞鱼模型”，则相当于知道了“AD：DB=1：2”和“BE：EC=1：2”，我们可以分别求出DM：MC和AM：ME的值；
咱还是不弄什么“高大上的”“美女老师”定理了，咱还老老实实用咱初中的方法——“胡乱作平行”：
作EG∥CD交AB于点G，则易求得AM：ME=3：4，DM：MC=1：6（过程略）；
其实，图形中有3个类似的“飞鱼模型”，我们可以类比推导出BN：NF=3：4，NE：NA=1：6；CP：PD=3：4，EP：PB=1：6的结论——突然感到类比的力量是多么的强大（关于“类比”的话题，详见《冲刺十招》第3讲“触类旁通学'类比’”）！
至此，可以得到如图所示的比值关系：
最后再来个小绝招——特殊化策略！
假如这个△ABC本来就是个正三角形呢？这个时候，是不是求结果更简单呢？这个特殊性的结论能否代表一般性的结论呢？什么时候可以运用这种极端化思想呢？这种运用极端化思想首先找出结果，再运用逆向思维的执果索因策略对于解题或者数学学习有没有借鉴意义呢？（详见《冲刺十招》第1讲“绝境逢生用'特值’”和第8讲“逆向思维用'反推’”）。
从茫茫题海中，找出规律性，找出解题的通法，建立模型，并用这个通法模型解决一类问题。这种方法，不是“套路”，而是“从特殊到一般的”“归纳”，再“从一般到特殊”的“演绎”。把不会的陌生的问题，转化成已经解决的熟悉的问题，更是“转化与划归”——整体来说，就是“建模”！
可以作为模型的，可以是一个结论，也可以是一种方法、一种策略、一种思想——不知道这样算不算又“泛模型化”了？
提前遇到这些对初中有点难度，有点思维含量，到将来还要学习或用到的知识的题目，我们是“喜忧参半”。
喜的是：让学生在学习的过程中不断探究，使得知识慢慢的向上延伸，等到有一天，同学们接触了更高级的知识，突然有一种顿悟的感觉——屮艸芔茻，原来如此啊！学生不仅仅是有一种豁然开朗的顿悟的感觉，甚至能够更加激发其学习的欲望——是不是现在的困难，将来可以用更高级的知识解决呢？这种探究学习的欲望一旦被点燃，其积极意义是毋容置疑的。
忧的是：这种提前下放的题目若成为一种趋势，甚至这种提前超纲讲授高年级知识，用高一级的方法解决现阶段的题目一旦成为一种风气，是否会形成一种互相攀比看谁补充的知识多，看谁提前学的更多的新的“军备竞赛”中。这样不仅仅违背了国家的减负政策，更违背了学生的认知规律！
一些题目，用高年级学习的公式、结论，就是直接套模型的事。但是遇到这样的题目，我们是下放补充高年级公式、结论，让他们记住这个“模型”呢还是用现有的知识进行突破解决呢？——其实，我是更倾向于后者的。用已经掌握的知识，解决那些未知的结论——这个探索的过程，难道不是体验“建模”的过程吗？经过精挑细捡的这种题目可以有，但不能烂；这种题目既然在初中出现，就要用初中的方法来解。否则，无缘无故的用高年级的知识方法解低年级的题目就是“耍流氓”！
究竟要交给孩子们什么样的数学？究竟要怎样教数学？
教知识，教方法，教策略，教思想——教也是一门艺术。如何点拨、怎样引导、如何启发，都需要我们去用心体会。
第一天，姚特的讲座精彩纷呈；
第二天，徐教授的分享追本溯源；
第三天，易特的专题高屋建瓴......
期待第三届“模型教学研讨会”今晚继续精彩~
一
会议大纲
SCHEDULE
01
会议日期及参会对象
参会日期
2021年 8月9日——13日 晚6:30——10:00
参会对象
全国各地区初中数学教师、初中数学教研员、中学教务主任、数学教育爱好者
02
详细课表
03
研讨要点
1、深度解析课程标准关于模型思想的引领作用
2、深度探讨模型教学的教学误区和可行性方案
3、总结前两届模型教学研讨会的成功经验
4、模型教学研讨会研讨成果展示
5、总结2021年全国中考数学命题的经典题型、热点题型及新动向
6、系统分析2021年中考数学命题特点及近几年中考数学命题趋势
7、研讨数学建模思想在教学中及中考中的地位与作用
8、研讨中考必考及必须掌握的数学模型及模型化教学
9、研讨预测2022年中考数学命题的新动向及应对新策略