第17讲 典型例题与练习参考解答:函数的多项式逼近与泰勒公式
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第17讲:函数的多项式逼近与泰勒公式
例题与练习题
【注】如果公式显示不全,请在公式上左右滑动显示!
练习1:证明不等式:
证明:在开区间内至少存在一点, 使.
练习3:设函数在上二次可导,且
证明:
练习4:设函数 在闭区间 上具有三阶连续导数,且
证明:在开区间内至少存在一点, 使.
练习5:设当时,有 , . 证明:对 ,有.
练习6:设在内二阶可导,且, 在 内有界. 证明:在 内有界.
练习7:证明自然常数为无理数.
练习8:设函数 在 处具有二阶导数且
证明:存在的去心邻域,当 时,有.
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考,过程不一定是最简单的,或者最好的,并且有时候可能还有些许小错误!希望在对照完以后,不管是题目有问题,还是参考解答过程有问题,希望学友们能不吝指出!如果有更好的解题思路与过程,也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员,管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享,谢谢!
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全,请在公式上左右滑动显示!
练习1:证明不等式:
【参考解答】:由的二阶带拉格朗日余项的泰勒公式,有
由于 ,故
练习2:设函数在闭区间上具有三阶连续导数,且
证明:在开区间内至少存在一点, 使.
【参考解答】:由函数在的二阶带拉格朗日余项的麦克劳林公式
其中位于之间. 分别代入 , ,得
其中, . 两式相减,得
由于连续,故在闭区间上存在最大值与最小值 ,故
故由介值定理知,在开区间内至少存在一点 , 使 .
练习3:设函数在上二次可导,且
证明:
【参考解答】:将函数在中点处展开为一阶泰勒公式
其中位于之间. 分别代入端点的值,得
其中.
其中.将上面两式相加,得
由于, ,故
练习4:设函数 在闭区间 上具有三阶连续导数,且
证明:在开区间内至少存在一点, 使.
【参考解答】:由函数在的二阶带拉格朗日余项的泰勒公式
其中在之间. 分别令, 代入,得
其中, . 两式相减,得
由于连续,故 也连续,于是由闭区间上连续函数的最值定理知,存在 ,使得
代入上面不等式,得
练习5:设当时,有 , . 证明:对 ,有.
【参考解答】:对,有一阶泰勒公式
其中位于之间. 代入, 得
其中, . 两式相减,得
解出并由绝对值不等式得
练习6:设在内二阶可导,且, 在 内有界. 证明:在 内有界.
【参考解答】:在任意处的一阶泰勒公式为
其中位于 之间. 令 ,则
其中. 于是
故在 内有界.
练习7:证明自然常数为无理数.
【参考解答】:由 的 阶带拉格朗日余项的泰勒公式
令,得
两边同时乘以 ,得
假设为有理数,则可以描述为 (其中为正整数). 于是当 时,则为整数;而时,可知不可能为整数,故等式不成立.
故假设为有理数不成立,即只能为无理数.
练习8:设函数 在 处具有二阶导数且
证明:存在的去心邻域,当 时,有.
【参考解答】: 在处带皮亚诺余项的二阶泰勒公式为
由知,
从而
于是由极限的保号性知,存在的去心邻域,当时,恒有
从而可知结论成立,即
第二届第2题:基于对数函数法和麦克劳林公式计算函数极限(1个视频片段)
第三届第1题:函数极限计算的三类重要方法及应用实例分析(3个视频片段)
第三届第三题:借助带拉格朗日余项的泰勒公式证明中值等式(1个视频片段)
第四届第三题:借助麦克劳林公式探索方程近似解(1个视频片段)
第六届第三题:用泰勒公式解题的一般思路与步骤及实例分析(2个视频片段)
第八届第1题:函数极限计算的一般思路与方法(3个视频片段)