第20讲 典型例题与练习参考解答：曲线的凹凸性与分析作图法
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第20讲：曲线的凹凸性与分析作图法
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例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：判定曲线的凹凸性.
练习2：求曲线的凹凸区间及拐点.
练习3：设在内可导，且 为严格凹函数，如果 为 在 内的驻点，那么 必为 的最小值点．
练习4：如图，已知函数 的导函数 的图形，指出 单调增加和单调减少区间；指出 的极大值点和极小值点；并指出曲线 的拐点的个数．
练习5：设函数 满足
试讨论函数 及其图形在点 处是否可能取得极值点或拐点，并说明理由.
练习6：试证明曲线 有三个拐点位于同一直线上.
练习7：试确定 中的值，使曲线的拐点处的法线通过原点.
练习8：证明：对于任意实数 ，有
练习11：在 中，证明：
练习14：描绘曲线 的图形.
证明：.
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：判定曲线的凹凸性.
【参考解答】：由于函数二阶可导，且
所以曲线在内都是严格凹的（下凸曲线）.
练习2：求曲线的凹凸区间及拐点.
【参考解答】：函数的定义域为. 求函数的一阶、二阶导数，得
令，得, . 以两点为分割点分割定义域，列表判定二阶导数符号：
所以曲线在区间 和 为凹曲线，在 为凸曲线. 点和 为曲线的拐点.
【注】：对于拐点的判定可以直接求三阶导数判定，即
则的 为奇数，故, 对应的图形上的两点为拐点.
练习3：设在内可导，且 为严格凹函数，如果 为 在 内的驻点，那么 必为 的最小值点．
【参考解答】：因为 为严格凹函数，所以当时，有
令，则，所以为 在 内的最小值．
练习4：如图，已知函数 的导函数 的图形，指出 单调增加和单调减少区间；指出 的极大值点和极小值点；并指出曲线 的拐点的个数．
【参考解答】： (1) 在 及 内， （ 除外），在 内， ，故 在 及 内递增，在 内递减．
(2) 因为在 内有定义，且
故 所有可能的极值点为. 在 两侧附近， 左正右负，故 为极大值点；在 两侧附近， 左负右正，故 为极小值点；在 两侧附近， 不变号，故 不是极值点．
(3) 在 , 及各点的两侧改变单调性，所以
为曲线的三个拐点．
练习5：设函数 满足
试讨论函数 及其图形在点 处是否可能取得极值点或拐点，并说明理由.
【参考解答】：(1) 由已知等式可知，如果 ，则 ，所以 不是极值点， 也不是拐点.
(2) 若 ，则由已知等式可知， ，且
为可导函数，则
所以 ，即 为拐点，但不是极值点.
【注】：也可以由如下思路判定：因为
则由极限的保号性可知， 为拐点. 但是存在一个邻域，可以判断 不变号，所以不是极值点.
练习6：试证明曲线 有三个拐点位于同一直线上.
【参考解答】：求函数的一阶、二阶导数，得
令 ，得 , , .
当时，，因此曲线在上是凸的；
当 时，，因此曲线在上是凹的；
当时，，因此曲线在 上是凸的；
当 时 ，，因此曲线在上是凹的，故曲线有三个拐点，分别为
由于
故这三个拐点在一条直线上.
练习7：试确定 中的值，使曲线的拐点处的法线通过原点.
【参考解答】：求函数的一阶、二阶、三阶导数，得
令 ，得 , . 由题意可知 ，故 ，所以 , 都为曲线的拐点.
由 知过点 的法线方程为
要使该法线过原点，则应满足这方程，将 , 代入上式，得 .
由 知，过点的法线方程为
同理，要使该法线过原点，将 , 代人上式得 . 所以，当.时，该曲线的拐点处的法线通过原点.
练习8：证明：对于任意实数 ，有
【参考解答】：令 ，则
即函数为严格凸函数，从而对 , , ，有
代入即得结论成立.
练习9：证明：当 时，成立不等式
【参考解答】：令 , ，则 , ，且
又函数 为 上的连续函数，所以函数 描述的曲线在 上为严格的凸曲线，于是可得
即原不等式成立.
练习10：证明(琴声(Jensen)不等式)：如果 是区间 上二阶可导的凸函数(描述的曲线为凹曲线)，则对任意的 ，, ，有
【参考解答】：【思路一】 用数学归纳法证明. 当 时，由定义显然成立. 设 时命题成立，则当时，设
令, ，则 . 由假设得
于是由数学归纳法得不等式成立.
【思路二】 由于 是区间 上二阶可导的凸函数，故
记，则函数 在 处的二阶带拉格朗日余项的泰勒公式为
其中 位于 之间. 代入 ，有
对 相加得
由于, ，代入得
【注1】：如果为凹函数，则不等式反向. 特别有：如果 是区间 上的凸函数，
则
其中等号当且仅当 时成立.
【注2】：琴声(Jensen)不等式与几何-算术平均值不等式一样，在写出其名称的前提下可以直接应用其结论讨论问题、验证结论，其结论可以认为是凸函数的一个性质直接使用！
练习11：在 中，证明：
【参考解答】：令 ，则
即函数 为严格的凸函数（凹曲线），则由凸函数的性质（即Jensen不等式），得
即
由于 ，所以
其中等号当且仅当 时成立.
练习12：作出函数 的图形．
【参考解答】：(1) 函数的定义域为 ，它是奇函数，关于原点对称且过原点．
(2) 求函数的一阶、二阶导数.
令得 ．令得．
(3) 列表分析如下：
(4) 因 ，故为曲线的水平渐近线且没有斜渐近线．由于函数在全体实数范围内连续，故没有铅直渐近线
(5) 描点作图，图形如下．
练习13：描绘方程描述的曲线图形.
【参考解答】：(1) ，函数的定义域为
(2) 求函数的一阶、二阶导数.
令得，且 和 ．
(3) 列表分析如下：
(4) 因 ，故为曲线的铅直渐近线．又
所以曲线有双侧的斜渐近线
(5) 描点作图，图形如下．
练习14：描绘曲线 的图形.
【参考解答】： (1) 所给函数的定义域为
由于函数是偶函数，它的图形关于轴对称，且由于函数是以 为周期的函数，因此可以只讨论 部分的图形.
(2) 求函数的一阶、二阶导数，得
(3) 令 ，在 内，得, ； 令 得. 又函数在点 及 处无定义.
(4) 分割区间判定 及 的符号和函数的单调性、凹凸性和拐点、极值点. 具体如下表：
(5) 由于函数为周期函数，故没有水平渐近线与斜渐近线.由
则图形有两条铅直渐近线：及 .
(6) 由 , 得图形上的点 .
(7) 利用图形对称性及函数的周期性，作图如下.
练习15：设函数在中二阶连续可微，且
证明：.
【参考解答】： 【思路一】 由 知，函数在上是凸函数. 于是有
所以对，有
即所证不等式成立.
【思路二】 当时，由题设可知结论成立. 对 ，有
故.
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