利用几何画板的迭代原理构建常用积分模型

1 引言

在高中物理教学中，常常涉及到积分概念。比如在“匀变速直线运动的位移”这部分，就是将时间分割成很多小段，把匀变速直线运动看作在每个小段内的匀速直线运动来处理的，从几何角度看，就是用一系列小长方形填充去速度曲线下面的梯形。

随着分割越来越细，这种填充就越来越好，系列小长方形的面积也就越来越逼近于梯形的面积。

在很多情形下，这一过程是靠教师的描述和学生的想象来实现的。但是对几何画板而言，可以分分钟动态呈现，一劳永逸。

2 建构过程

2.1 基础架构

如图1所示，在“图表”菜单中选择“绘制新函数”命令，绘制出一个任意的函数f（x）的图像。

图1

在x轴上创建如图所示的A、B、C三点。

选择A、B两点，在“度量”菜单中选择“坐标距离”选项，度量出坐标距离AB。

在“图表”菜单中选择“新建参数”命令，创建参数n，并设置其值为5。

在“度量”菜单中选择“计算”，将AB距离与参数n-1相除，得到积分步长Δx。

选择C点，在在“度量”菜单中选择“横坐标”和“纵坐标”，测量出xc和yc。

在“度量”菜单中选择“计算”，依次选择函数f（x）和xc，计算出xc对应放入函数值f（xc）。

依次选择xc和f（xc），在“图表”菜单中选择“绘制点”，绘制出xc对应的曲线上的D点。

在“度量”菜单中选择“计算”，计算出xc与积分步长Δx的和。

依次选择xc+Δx和yc，在“图表”菜单中选择“绘制点”，绘制出C对应的下一个点C'。

依次选择C点和C'点，在“变换”菜单中选择“标记向量”，再选择D点，在“变换”菜单中选择“平移”，并按照标记的向量平移，得到对应点D'。

使用线段工具，将CDD'C'围成长方形，然后依次选择CDD'C'四点，在”作图“菜单中选择”四边形“内部，为四边形填充合适颜色。

2.2 迭代操作

如图2所示，依次选择C点和参数n，在“变换”菜单中选择“带参数的迭代”，在弹出的迭代框中将C点指向C'点，并确认迭代，生成迭代项。

图2

如图3所示，选中C点，在“编辑”菜单中选择“从轴中分离点”，将C点从x轴上剥离出来，然后再依次选择C点和A点，在“编辑”菜单中选择“合并点”，将C点与A点合并。

图3

如图4所示，得到了函数曲线f（x）、积分宽度AB和在积分宽度内的多条长方形。

图4

2.3 修饰美化

如图5所示，隐藏不必要显示的数据，保留函数f（x）和迭代深度参数n，将画面做进一步的简洁处理。

图5

2.4 已定义操作演示

如图6所示，可以对函数f（x）任意编辑，修改成任意函数；也可以随意修改迭代深度，观察分割精细度对填充效果的影响。

图6

至此，一个允许自定义函数和自定义精度的积分模型就建立起来了。

如果你已经跟随本文一步一步地做到了这里，就可以录入自己心仪的函数，通过改变迭代深度参数n的值，观察神奇的积分效果了。

3 心得感悟

积分操作和积分思想在高中物理和数学中都有着广泛的应用，这个在几何画板中构建的积分模型可以非常好地视觉呈现积分的几何意义。