级数证明法的应用（二）
4、“级数法”证明增函数： y=(1+1/x)x(1+x)1/x（0＜x＜1）.
（1） lny=x*ln(1+1/x)+(1/x)ln(1+x)
（2） y′/y=ln(1+1/x)-1/(1+x)-(1/x2)[ln(1+x)-x/(1+x)].
=-ln[1-1/(1+x)]-1/(1+x)-(1/x2){-ln[1-x/(1+x)]-x/(1+x)}.
=∑(n=1…∞)(1/n)/(1+x)n-1/(1+x)-(1/x2){∑(n=1…∞)(1/n)xn/(1+x)n-x/(1+x)}.
=∑(n=2…∞)(1/n)/(1+x)n-(1/x2)∑(n=2…∞)(1/n)xn/(1+x)n.
=∑(n=3…∞)(1/n)/(1+x)n-(1/x2)∑(n=3…∞)(1/n)xn/(1+x)n.
=∑(n=3…∞)(1/n)(1-xn-2)/(1+x)n＞0成立，故 y′＞0得证。
5、超级难题——证明增函数（0＜x＜1）y=(1+1/x)x+(1+x)1/x.(“级数法”行不通)
“级数法”试证如下——
（1）设 f(x)=(1+1/x)x， y=f(x)+f(1/x).
（2）（x＞0）f′(x)＞0已证。（0＜x＜1）f(1/x)＞f(x)已证。
（3）（0＜x＜1）f(x)＞xnf(1/x)（n≥1）已证。
（4）y′=f(x)[ln(1+1/x)-1/(1+x)]-f(1/x)(1/x2)[ln(1+x)-x/(1+x)].
=f(x){-ln[1-1/(1+x)]-1/(1+x)}-f(1/x)(1/x2){-ln[1-x/(1+x)]-x/(1+x)}.
=f(x)∑(n=2…∞)(1/n)/(1+x)n-f(1/x)∑(n=2…∞)(1/n)xn-2/(1+x)n.
=(1/2)[f(x)-f(1/x)]/(1+x)2+∑(n=3…∞)(1/n)[f(x)-xn-2f(1/x)]/(1+x)n.
（5）因（0＜x＜1）f(x)-f(1/x)＜0，故“级数法”无法判定 y′＞0。