第09讲 典型例题与练习参考解答：无穷小、无穷大与渐进线
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第09讲：无穷小、无穷大与渐进线
例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1 ：求下列的极限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) .
练习2 ：已知当时，是与等价的且都不为的无穷小，是比高阶的无穷小，求以下极限值：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
练习6 ：求由如下方程描述的曲线渐进线方程，其中：
(1) ;
(2) .
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1 ：求下列的极限：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) .
【参考答案】 ：(1) 当时， 为无穷小，是有界函数，，故
或由于
则由夹逼准则知极限为0.
(2) 当时，为无穷小，是有界函数，故由极限的加法法则，得
(3) 由于，故
【注】：是当时的三阶无穷小量.
(4) 由分子有理化和改写函数表达式，得
(5) 如果，则极限等于0；如果，则凑项得
【注】：这种替换实质为
练习2 ：已知当时，是与等价的且都不为的无穷小，是比高阶的无穷小，求以下极限值：
【参考答案】 ：由题设与极限的运算法则，得
练习3 ：当时，是的几阶无穷小量？
【参考答案】 ：由于，故
所以是的阶无穷小量.
练习4 ：求, 其中满足
【参考答案】 ：由等价无穷小
及无穷小和函数极限之间的关系，得
整理解出，得
代入极限式，得
练习5 ：求下列函数或方程描述的曲线的渐进线方程.
(1) ；
(2) ；
(3) ；
【参考答案】 ：(1) 水平渐近线：
故左侧有水平渐近线 ；
铅直渐近线：定义区间边界点仅有. 又
故有铅直渐近线；
斜渐近线：由于有左侧水平渐近线，故只需考察右侧斜渐近线. 由于
故曲线有右侧斜渐进线.
(2) 水平渐近线：因为，故曲线双侧都没有水平渐近线；
铅直渐近线：由于定义区间端点仅有 ，又
故有铅直渐近线.
斜渐近线：由于
故曲线双侧由同一条斜渐近线．
(3) 水平渐近线：由于
当 趋于正、负无穷时，极限变化状态不同，所以需要分左右极限讨论，于是
所以曲线右侧有一条水平渐近线.
铅直渐近线：由于函数的定义域为全体实数，所以没有铅直渐近线.
斜渐近线：由于曲线有右侧的水平渐近线，故只需考察 的极限. 于是有
所以曲线左侧有斜渐近线.
【注】：当时可以改写为
所以曲线左侧有斜渐近线.
练习6 ：求由如下方程描述的曲线渐进线方程，其中：
(1) ;
(2) .
【参考答案】 ：(1) 根据三类渐近线的定义和方程的计算思路，由参数表达式知，当时，
即，没有对应的值，故无铅直渐近线. 又等价于，于是由斜渐近线和水平渐近线的统一计算方法，有
故曲线有两个方向的斜渐近线，且方程为 从而可知曲线无水平渐近线. 当时，图形效果如下.
(2) 根据三类渐近线的定义，不存在使得当 时，，故曲线无铅直渐近线. 由斜渐近线与水平渐近线的统一判定和计算思路与步骤. 假设曲线有方向的斜渐近线，则斜渐近线方程的由如下极限确定
由极限与无穷小的关系，则由的极限式，有
即. 代入曲线方程，整理得
对上式取时的极限，得，即. 将其代入的极限式，类似可得
即. 代入曲线方程，整理得
对上式取时的极限，得. 于是曲线有右向斜渐近线 .
对于有类似讨论，得到相同结果. 即曲线有双向的斜渐近线，故也无水平渐近线.
【注】：该隐函数方程确定的曲线也即(1)中参数方程确定的曲线，由(1)参数方程消去参数可以得到(2)描述的隐函数方程.
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