皮亚诺曲线

皮亚诺曲线

皮亚诺曲线（Peano curve）是一曲线序列的极限。只要恰当选择函数，画出一条连续的参数曲线，当参数t在0、1区间取值时，皮亚诺曲线将遍历单位正方形中所有的点，得到一条充满空间的曲线。 皮亚诺曲线是一条连续而不可导的曲线。

中文名皮亚诺曲线

外文名Peano curve

提出者朱塞佩·皮亚诺

原像维度1维

像的维度2维

性质曲线的像充满正方形

皮亚诺曲线的发现

皮亚诺（Peano）曲线是一条能够填满正方形的曲线。

皮亚诺曲线 1890年，意大利数学家皮亚诺（GiuseppePeano）发现能填满一个正方形的曲线，叫做皮亚诺曲线。皮亚诺对区间上的点和正方形上的点的对应作了详细的数学描述。实际上，正方形的这些点对于

,可规定两个连续函数

和

，使得x和y取属于单位正方形的每一个值。^[1]后来，希尔伯特作出了这条曲线。

维数的认识

在传统概念中，曲线的维数是1维， 正方形是2维。按照通常的理解，没有宽度的一维的曲线是不可能填满2维的方格的。

皮亚诺曲线说明我们对维数的认识是有缺陷的，有必要重新考察维数的定义。这就是分形几何考虑的问题。在分形几何中， 维数可以是分数的叫做分数维度。

此外皮亚诺曲线是连续的但处处不可导的曲线。因此如果我们想要研究传统意义上的曲线， 就必须加上可导的条件，以便排除像皮亚诺曲线这样的特例。

集合论观点

与

均为不可数集，且基数均为连续统基数。对于

的方块

,存在一个一一映射

同理存在一个一一映射

由于

与

基数相同，故存在一个一一映射

但该映射不一定是连续的。Peano曲线给出了一个

的连续满射，一般来说，一维的曲线是不可能填满2维的方格的。但是皮亚诺曲线恰恰给出了可行的例子。

参考资料

• [1]On the Peano Curve of LebesgueEinstein Institute of Mathematics2018-01-28[引]