叠加、测量和纠缠，是量子力学中跟信息科学关系最密切的“三大奥义”。你如果了解了这三大奥义，你就超越了99.9%的人。
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本视频发布于2020年11月5日，播放量已超过两百万
这次我们就来讲一下，量子力学中的这些神奇的特性是什么。我把它们总结为三点：叠加（superposition）、测量（measurement）与纠缠（entanglement）。我给它们起了个称号“三大奥义”。
这当然不是说量子力学只有这三点内容，实际上量子力学的内容非常丰富。不过跟信息科学关系最密切的，就是这三大奥义。你如果了解了这三大奥义，你就超越了99.9%的人。第一大奥义：叠加。这个奥义的精髓，是用量子比特（quantum bit，简写为qubit）取代了经典比特（classical bit）。大家都知道，比特是信息操作的基本单元。我们说一个文件有多少兆、多少G，指的就是有这么多的比特。什么叫做一个比特呢？意思就是，一个体系有且仅有两个可能的状态，经常用“0”和“1”来表示。所以比特就好比一个开关，它只有开和关两个状态。相应的有一个比喻，量子比特就好比一个旋钮。旋钮跟开关的区别是什么呢？旋钮是连续可调的，它可以指向任何一个角度。也就是说，量子比特不是只有两个状态，而是有无穷多个状态。
让我们看一个具体的例子：偏振光（polarized light）。学过电磁学的人知道，光是一种电磁波，不断地产生电场和磁场。如果电场位于某个确定的方向，我们就说这束光是偏振的。
任何方向的偏振都是可以出现的，例如0度的水平偏振、90度的垂直偏振，以及45度和135度的倾斜的偏振。所以一个偏振的光子就像一个旋钮，可以作为一个量子比特。
如果你学过初中数学，就知道一个平面上的每一个方向对应一个矢量。这个矢量从坐标轴的原点指向单位圆上的一个点，单位圆就是半径为1的圆。
当你看到这个矢量的图像，立刻就会明白，两个方向矢量的叠加可以产生其他方向的矢量。0度和90度相加，就得到45度。0度和90度相减，就得到-45度。两个矢量可以各自乘以一个常数，然后再相加，这叫做“线性叠加”（linear superposition）。任何一个角度，比如说30度、60度，都可以表示成0度和90度的某种线性叠加。
你很容易注意到，0度和90度其实并没有特别之处。一个圆上的一个点和另一个点，有本质的区别吗？显然没有，所有点的地位都是平等的。
如果我们愿意，我们也可以用45度和-45度这两个矢量叠加，来产生任何其他矢量。例如45度和-45度相加，就得到0度。45度和-45度相减，就得到90度。
所以对于量子比特来说，真正重要的是存在两个基本状态，其他所有状态都可以表示成这两个基本状态的叠加。至于把哪两个状态指定为基本状态，是0度和90度，还是45度和-45度，那是无所谓的。这就好比我们学解析几何时，首先要画出x轴和y轴，即选择一个坐标系。在选定坐标系后，我们就可以把平面上任何一点用一组(x, y)的坐标来表示，这就可以计算了。但x轴和y轴的方向其实是无所谓的，无论你怎么取，最终计算的结果都一样。比如说有两个点相距1米，那么在任何坐标系中算出来这个距离肯定都是1米，不可能换个坐标系就变成2米了。
真正重要的，是最初要选择两个互相垂直的坐标轴。基于类似的考虑，在量子力学中，我们把两个互相垂直的状态矢量称为一个“基组”（basis set）。例如0度和90度就构成一个基组，45度和-45度也构成一个基组。坐标系怎么取并不重要，重要的是一定要有一个坐标系。同样的，基组怎么取并不重要，重要的是一定要有一个基组。开个玩笑，长辈的逼婚往往就是：你的对象是什么人并不重要，重要的是你一定要有一个对象！
为了方便地表述这些内容，我们引进一种数学符号来表示量子力学中的状态。这个符号是这个样子：一个尖括号“|>”，一头竖直一头尖。在这个尖括号中填一些字符，就可以表示状态的特征。比如说，我们经常把0度的状态写成|0>，把90度的状态写成|1>，把正负45度的状态分别写成|+>和|->。
这种符号是英国物理学家狄拉克发明的，称为“狄拉克符号”（Dirac notation）。
狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902 - 1984）用狄拉克符号，我们就很容易用|0>和|1>的线性叠加来表示|+>和|->：之所以会在分母中出现根号2，是因为我们要保持矢量的长度为1。把两个长度为1、互相垂直的矢量相加，得到的结果是一个位于它们平分线方向的矢量，长度为根号2。为了让它的长度回到1，我们需要除掉这个根号2。
同样的，我们也很容易用|+>和|->的线性叠加来表示|0>和|1>：充分理解偏振光这个例子后，我们就可以描述普遍的情况了。在量子力学中有一条基本原理，叫做“叠加原理”（superposition principle）：如果两个状态是一个体系允许出现的状态，那么它们的任意线性叠加也是这个体系允许出现的状态。例如，我们已经知道，水平偏振和垂直偏振是偏振光允许出现的两个状态。这个原理告诉我们，水平偏振和垂直偏振的任意线性叠加，即任意方向的偏振，也是允许出现的状态。用精确的数学语言来表达，叠加原理说的是：如果一个体系能够处于|0>和|1>，那么它也能处于任何一个a|0> + b|1>，这样的状态称为“叠加态”（superposition state）。这里的a和b是两个数，它们可以取任何值。对它们唯一的限制，就是它们绝对值的平方和等于1，即|a|2+ |b|2 = 1，这是为了保持矢量的长度不变。
在偏振光的例子中，如果用|0>和|1>作为基组，那么|+>和|->就是它们的叠加态。对于|+>来说，a = b = 1/√2。对于|->来说，a = 1/√2，b = -1/√2。我们也可以用|+>和|->作为基组，那么|0>和|1>就是它们的叠加态。很好，你已经学会了量子比特和叠加原理。一个比特好比一个开关，一个量子比特好比一个旋钮。一个比特只有两个状态，一个量子比特却有无穷多个状态。所以，量子比特能干的事显然比经典比特能干的事多。如果你充分理解了这些，你就超过了90%的人~下面，我们来介绍第二个奥义：测量。这个奥义的精髓，在于真正的随机性（randomness）。
说到测量，所有人都会同意它是非常重要的。但是，测量在量子力学中的重要性，比在经典力学中的重要性高得多。在经典力学中，测量过程跟其他过程服从同样的物理规律。你相信某个物体首先具有某些确定的性质，如确定的位置、确定的速度，然后你去测量这些性质。无论你看或不看，它都在那里。正如一句著名的诗：“你见，或者不见我，我就在那里，不悲不喜。”顺便说一句，许多人以为这首诗是十七世纪的诗人仓央嘉措写的，其实不是，它是当代女诗人谈笑靖（扎西拉姆·多多）写的。仓央嘉措内牛满面！总而言之，在经典力学中，你可以随便看。
谈笑靖（https://kuaibao.qq.com/s/20191030A090JQ00）可是在量子力学中，测量就跟其他过程有本质的区别了！一个物体并不一定事先具有确定的性质，而你“看”的这个操作本身，就有可能造成不可逆的变化。简而言之，在量子力学中，你不能随便看。仓央嘉措再次内牛满面！
首先，你必须指定一个基组。比如说对于偏振光，你可以用0度和90度即|0>和|1>这个基组，也可以用正负45度即|+>和|->这个基组，总之必须要先确定一个。你的对象是什么人无所谓，关键是要有一个对象。在确定了基组之后，我们开始测量。重点来了：测量的结果有两种情况，取决于待测量的态是不是基组中的一个态。第一种情况，待测的态就是基组中的一个态，比如说在|0>和|1>的基组中测量|0>。这种情况的测量结果很简单，就是态不变。进去是什么，出来还是什么。第二种情况，待测的态不是基组中的一个态，也就是说，它是两个基组状态的叠加态。这时会出现惊人的结果：这个态会发生突变！也常有人把这个突变称为“塌缩”、“坍缩”（collapse）或类似的词。这个突变是瞬间发生的，不需要时间，是一个真正意义的突然变化。
我们需要强调一下，测量时的突变是量子力学中最大的神奇之一。你可能听说过量子力学有很多违反日常直觉的地方，简直好像一门玄学，那么这其中有一大半就是由测量造成的。
费曼（Richard Phillips Feynman，1918 - 1988）说：没有人真正懂得量子力学你也许想问：测量时为什么会突变？对不起，我们不知道。目前我们只能确认，这条原理是正确的，因为由它推出的可观测结果都跟实验符合。但为什么会这样，这背后有没有更深刻的原因，当前的科学还没有答案。更具体地说，对突变的定量描述是这样的：如果在|0>和|1>的基组中测量a|0> + b|1>，那么这个态会以|a|2的概率变成|0>，以|b|2的概率变成|1>。由于只可能有这两种结果，所以这两个概率相加等于1，这刚好对应我们前面说的让我们看一个具体的例子，在|0>和|1>的基组中测量|+>。回顾一下，在这里a = b = 1/√2。所以结果就是，有一半的概率得到|0>，一半的概率得到|1>。同样的道理，在|0>和|1>的基组中测量|->，结果也是有一半的概率得到|0>，一半的概率得到|1>。换一个基组来看，在|+>和|->的基组中测量|0>或者测量|1>，结果都是有一半的概率得到|+>，一半的概率得到|->。
以偏振光为例，就能明白这些例子对应什么具体的操作。让一束偏振光去过一个偏振片（polarizer），如果两者的偏振方向相同，就会完全通过。如果这两个方向垂直，就会完全通不过。如果两者的夹角在0度到90度之间，就会有一定的概率通过，一定的概率不通过。
比如说，水平偏振光过水平方向的偏振片，会完全通过。水平偏振光过垂直方向的偏振片，会完全被挡住。45度偏振光过水平方向的偏振片，会有一半的概率通过，一半的概率通不过。水平偏振光过45度方向的偏振片，也会有一半的概率通过，一半的概率通不过。需要注意，在后面这两个例子中，一个光子过了就是过了，没过就是没过，不会有“半个光子”过去。就好比你考试，过了就是过了，没过就是没过，不会有“半个你”过了。我们在前面说过，光子是光的量子，只能有一个光子、两个光子，不能有半个光子。而这个光子一旦过了，就变成了偏振片的方向，而不是原来的方向了。总结一下，我们可以把对叠加态的测量理解为“削足适履”：给你一组可选的状态，跟你都不一样，而你必须在其中选择一个，就只好随机挑了。在哲学上，量子力学的测量改变了我们对因果性的理解。在经典力学中，同样的原因必然导致相同的结果，量子力学却不是这样。在量子力学中，如果某个测量有一半的概率得到A、一半的概率得到B，那么我们可以预测多次实验的结果。把同样的初始状态制备很多份，把这个实验重复很多次，那么会有接近一半的次数得到A，接近一半的次数得到B。但对于单独的一次实验，我们就完全无法预测它得到A还是B。也就是说，同样的原因可以导致不同的结果！这是真正的随机性，是量子力学的一种本质特征。你可能会问：经典力学中也有随机性，掷硬币不就是一半概率朝上，一半概率朝下吗？回答是：那是伪随机，不是真随机。掷硬币的结果难以预测，是因为相关的外界因素太多，包括硬币出手时的方位、速度、空中的气流等等。也就是说，经典力学中的概率来自信息的缺乏。你可以通过减少这些因素的干扰，来增强预测能力。例如在真空中掷硬币，消除气流；用机器掷硬币，固定方向和力度。最终，你可以确定地掷出某一面，或者使掷出某一面的机会显著超过另一面。赌神就是这样炼成的！
但在量子力学中，测量结果的概率是由体系本身的状态决定的，不是由于外界的干扰，不是由于缺少任何信息。因此，我们无法预测得更多。比如说给你一个处于|+>的粒子，在|0>和|1>的基组中测量它，问你有什么办法保证这次得到|0>？回答只能是：没有任何办法。我们唯一可说的就是，有一半的概率得到|0>。正如歌剧《卡门》唱的：爱情是一只不羁的鸟儿，任谁都无法驯服……
你可能想问：有没有可能，这个体系还存在其他一些我们不了解的变量，这些变量决定了测量的结果？在原则上，这当然是可能的，这种想法叫做“隐变量理论”（hidden variable theory）。
玻姆（David Joseph Bohm，1917 - 1992）提出了一种著名的隐变量理论但到目前为止，各种隐变量理论都没有取得特别大的成功，因为它们做出的预测跟标准量子力学理论完全相同。除了在哲学层面让某些人感到舒服之外，没有任何真正的好处。既然这样，我们为什么要费这个劲去多引进这些变量？因此，绝大多数物理学家都在用标准的量子力学理论，对隐变量理论没有太多的兴趣。在应用层面上，量子力学的测量是目前唯一的一种产生真随机数的办法。这是非常有价值的，因为许多数学应用都需要用到随机数。如果你的随机数不随机，能被别人预测，那就会造成严重的后果，例如信息泄露、金融资产失窃。2018年9月19日，科大60周年校庆时，潘建伟研究组在《Nature》发表文章，在世界上首次实现了“器件无关的量子随机数产生器”（device-independent quantumrandom-number generation）。如果你听不明白这个术语，没关系，这条消息说的是，中国在量子随机数方面领先世界。
器件无关的量子随机数产生器实验示意图（https://www.nature.com/articles/s41586-018-0559-3/figures/1）现在你已经学会了三大奥义中的两个，叠加和测量。你的知识水平，已经超过了99%的人~下次，我们来讲第三大奥义：量子纠缠。大家是不是很期待啊？
