《四元玉鑑》“鎖套吞容”之方田圓池結角池之問
《四元玉鑑》“鎖套吞容”之方田圓池結角池之問
上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo XiāngGuǎn 112
何世強 Ho Sai Keung
提要：本文之問取自《四元玉鑑》之“鎖套吞容”門。所謂“鎖套吞容”乃指一幾何圖形中含另一幾何圖形所衍生之數學問題。本文第二題涉及勾股定理，所問淺易。
關鍵詞：圓田、方田、結角方池、弧田
本文之問取自《四元玉鑑》之“鎖套吞容”門。 所謂“鎖套吞容”乃指一幾何圖形中含另一幾何圖形所衍生之數學問題。
“鎖套吞容”共十九問，以下為該門其中三問，而本文所涉及者乃方中有圓、方中有方及圓中有直角三角形。
鎖套吞容（一十九問）
(1)
今有方田一段，靠東北角有圓池占之，餘積一萬二百二十五步。只云從田西南隅斜至池楞五十九步。問：田方、池徑各幾何？
答曰：池徑一百二十步，田方一百四十五步。
術曰：立天元一為池徑，如積求之得五十五萬二千為益實，四千七百二十為從方，一為益隅，平方開之，得池徑，合問。
解：
若一正方形之一邊長為 1，則其對角線為 1.4，或
，本題以此近似值算之，若不以此近似值算，則不能得方程式。另外，π 為古率 3。
以下為方田圓池圖：
BG 乃田西南隅斜至池楞長 59 步。“池楞”，圓池之邊也。
今設池徑為 x 步，方田一邊長 y 步。據題意可列出以下之方程式：
y2 –
= 10225------------------------------- (1)
+ 59 =
(y –
)--------------------------- (2)
從 (2) 可得
+ 59 =
y –
5x + 590 = 14y– 7x
12x + 590 = 14y
6x + 295 = 7y
y =
-----------------------------------(3)
代 (3) 入 (1) 得 (
)2 –
=10225
4(36x2+ 3540x + 87025) – 147x2 = 2004100
144 x2+ 14160x + 348100 – 147x2 = 2004100
– 3x2+ 14160x – 1656000 = 0
– x2+ 4720x – 552000 = 0 ----------------------- (4)
以上即《四元玉鑑》所云：
得五十五萬二千為益實，四千七百二十為從方，一為益隅。
以“益”為負，以“從”為正。“平方開之”即解一元二次方程式。
分解 (4) 為因式得 (– x +120)( x + 4600) = 0
x = 120，– 4600 之根不合。
以下為本題之傳統開方法：
先設 (4) 之左方為 f(x) = – x2 + 4720x –552000，
顯然 x > 100 ，先以 x = 100 、200 代入得：
f(100) = – 10000 + 472000 –552000 = 負數，
f(200) = – 40000 + 944000 –552000 = 正數，
因 f(100)與 f(200) 變號，故 100 與 200 之間有一根。今收窄其範圍
今取根之百位數為 1。又設 x = 100 + x1 ，其中 10 <x1 < 100。故式 (4) 可寫成：
–(100 + x1)2 + 4720(100 + x1) – 552000 = 0
左方為f(x 1) = –(100 + x1)2 + 4720(100 + x1) – 552000
=–(x12+ 200x1 + 10000) + 4720(100 + x1) – 552000
=–x12 – 200x1– 10000+ 472000 + 4720x1 – 552000
=–x12+ 4520x1 – 90000。
今以 x1 = 10、20﹝取90000 之因子﹞代入可知：
f(10) = –100 + 45200 – 90000 = 負數，
f(20) = –400 + 90400 – 90000 = 0。
故x1 = 20為方程式 –x12 + 4520x1– 90000 = 0 之解，
所以 x = 100 + x1 = 100 + 20 = 120。
方田之一邊長 y =
=
=
= 145。
答：池徑 120 步，方田之一邊長 145 步。
(2)
今有圓田一段，周一百二十步。被水從中穿為直河，分為弧田二段。只云二弧弦各長三十二步，問：水面闊幾何？
答曰：二十四步。
術曰：立天元一為水面闊，如積求之得五百七十六為益實，一為從隅，平方開之，得水面闊，合問。
解：
以下為河水穿圓田圖：
圓ABCD為圓田，ABCD為河道，圓田半徑為 r 步，水面闊 EF為 x步，AD 及 BC 為兩弧弦，各長 32 步。π 為古率 3。求水面闊 EF。
周一百二十步即2r × 3 = 6r = 120，
即 r = 20，即圓田半徑為 20 步。
在直角三角形 OAE 中，依勾股定理可知 OE2 + AE2 = OA2 ，
即 (
)2+ 162 = 202
+ 256 = 400
= 144
x2 = 4 × 144 = 576 ----------------------- (1)
x2 – 576 = 0-------------------------------- (2)
以上 (2) 式即《四元玉鑑》所云：
得五百七十六為益實，一為從隅。
以“益”為負，以“從”為正。“平方開之”即解一元二次方程式。
依連枝開方法，(1) 式左右開方得 x = 2 × 12 = 24。
答：水面闊 24 步。
本題屬簡單之勾股題。
(3)
今有方田一段，靠西北隅有結角方池占之，餘積四千步。只云從田東南隅斜至池楞六十八步八分。問：田、池各方幾何？
答曰：池方十五步，田方六十五步。
術曰：立天元一為池方，如積求之得七萬七千六百六十四為益實，五千九十一步二分為從方，五步七分六厘為從隅，平方開之，得池方，合問。
解：
若一正方形之一邊長為 1，則其對角線為 1.4，或
，本題以此近似值算之。西北隅，即西北角。所謂結角方池，其擺置如下圖之方形 EFGH。積，指面積。求方池及方田之一邊長。
以下為方田結角方池圖：
ABCD 是為方田，EFGH 是為結角方池，EF 是為方池之一邊，今設 EF為 x 步，AB 為方田之一邊為 y 步，AC 為對角線，而 AL 為田東南隅斜至池楞，長68.8 步。而 AC = AL + LK + KC，AL = 68.8﹝即 六十八步八分，注意小數之表示法﹞， LK = EF = x，KC =
HG =
x。
據題意可列出以下之方程式：
y2 – x2 = 4000------------------------------------ (1)
68.8 +x +
x =
y---------------------------- (2)
從 (2) 可得 68.8 +
x =
y
688 +15x = 14y
y =
-----------------------------------(3)
以 (3) 式代入 (1) 式得 (
)2 – x2 = 4000
225x2 + 20640 x + 473344 – 196 x2 = 784000
29 x2+ 20640 x – 310656 = 0
以公式解之得：
x =
=
=
。
=14.75。
求 y ，代 x 之值入 (3) 式得：
y =
=
=
= 64.95。
以上答案與原題答案為方池邊 15 步，方田邊 65 步略有出入，四捨五入後可視之為正確。
若將 (2) 式 68.8 + x+
x =
y 左方第三項
x 改成
x﹝注意
x 比
x 略少﹞，即：
68.8 +x +
x =
y
68.8 +
x =
y
1720 +37x = 35y
y =
----------------------------(4)
以 (4) 式代入 (1) 式得 (
)2 – x2 = 4000
1369x2 +127280 x + 2958400 – 1225x2 = 4900000
144x2+ 127280 x – 1941600 = 0
全式除以 25 得 5.76x2 + 5091.2x – 77664 = 0 ---------------------- (5)
以上即《四元玉鑑》所云：
得七萬七千六百六十四為益實，五千九十一步二分為從方，五步七分六厘為從隅。
以“益”為負，以“從”為正。注意小數之表示法。“平方開之”即解一元二次方程式。
以下為本題之傳統開方法：
先設 (5) 之左方為 f(x) = 5.76x2 + 5091.2x – 77664，
以 x = 10、100 代入得：
f(10) = 57.6 + 50912 – 77664= 負數，
f(100) = 576 + 509120 – 77664= 正數，
因 f(10)與 f(100) 變號，故 10 與 100 之間有一根。今收窄其範圍
以 x = 20 代入得：
f(20) = 2304 + 101824– 77664 = 26464，
因f(10) 與 f(20) 變號，故 10 與 20 之間有一根。
今取根之十位數為 1。又設 x = 10 + x1 ，其中 0 <x1 < 10。故式 (5) 可寫成：
5.76(10+ x1)2 + 5091.2(10 + x1) – 77664 = 0
左方為f(x 1) = 5.76(10 + x1)2 + 5091.2(10+ x1) – 77664
=5.76(x12 + 20x1+ 100) + 5091.2(10 + x1) – 77664
=5.76x12 + 115.2x1 + 576 + 50912 + 5091.2 x1 – 77664
=5.76x12 + 5206.4x1 – 26176。
今以 x1 = 1、2、3、4、5代入試之，可知：
f(5) = 5.76 × 25 + 5206.4 × 5 – 26176 = 0。
故x1 = 5 為方程式 5.76x12 + 5206.4x1 – 26176 = 0 之解，
所以 x = 10 + x1 = 10 + 5 = 15。
求 y ，代 x 之值 15 入 (4) 式得：
y =
=
=
=
= 65。
答：方池邊 15 步，方田邊 65 步
本題之算法是否如此，仍有待進一步探索。