（温故而知新）初中数学相似模型合集——燕尾形模型及勾股型
“ 正相似形在中考中占有极大的比重,它的考法又是千变万化,对于学生来说,既是重点,又是难点.今天讲解的是关于“燕尾形模型及勾股型"的一些基本结论,希望对学生的思维有一定的激发作用,给学生处理问题多一些途径。
没有更新这段时间姜姜老师也没有闲着，将关于初中数学压轴题型的——相似模型做了总结汇总，出了一份资料，感兴趣的同学可以看下。
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燕尾型相似
原理证明：
△ADE∽△ABC（AA）
△AEC∽△ADB（SAS）
△EOB∽△DOC（AA）
△EOD∽△BOC（SAS）
典型例题：
如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，
（1）求证：△ABF∽△ACE；
（2）求证：△AEF∽△ACB；
（3）若∠A＝60，求：EF/BC
【解答】
（1）证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠AFB＝∠AEC＝90°，且∠BAF＝∠CAE，
∴△ABF∽△ACE；
（2）证明：由（1）可知△ABF∽△ACE，
∴AE/AC=AF/AB，且∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB；
（3）解：由（2）知△AEF∽△ACB，
∴EF/BC=AE/AC，
∵∠A＝60°，
∴AC＝2AE，
∴EF/BC=AE/AC=1/2．
同步练习：
1.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证：BC＝2DE．
【解答】
证明：∵BD、CE分别是AC与AB边上的高，
∴∠BEC＝∠BDC，
∴B、C、D、E四点共圆，
∴∠AED＝∠ACB，而∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴DE/BC=AD/AB；
∵BD⊥AC，且∠A＝60°，
∴∠ABD＝30°，AD＝½AB，
∴BC＝2DE．
2.如图，BD、CE是△ABC的高．
（1）求证：△ACE∽△ABD；
（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的长．
【解答】
解：（1）证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ACE∽△ABD；
（2）在Rt△ABD中，BD＝8，AD＝6，
根据勾股定理，得
∵△ACE∽△ABD，
∴AC/AB=AE/AD
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴DE/BC＝AD/AB，
∵DE＝5，
∴BC=5*10/6=3/25
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勾股型相似
原理证明：
如图：∠CAB=∠DCB=90°
∠ABC=∠CBD
则 △DCB∽CAB
则 BC²=AB BD
典型例题：
如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB·AD；
（2）求证：△AFD∽△CFE．
【解答】
（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴AC2＝AB·AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CE＝BE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE．
同步练习：
1.如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5cm，AB＝4cm，AD的长为（）
故答案为：16/5
2．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB·AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB．
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC/AF的值．
【解答】
（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵AC2＝AB·AD，
∴AC/AB＝AD/AC，
∴△ADC∽△ACB；
（2）∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∵点E为AB的中点，
∴CE＝AE＝½AB＝3/2，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠DAC＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD；
∴CF/FA＝CE/AD＝3/4，
∴AD/AF＝7/4．
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