初中数学解题技巧篇·几何动点构造平行四边形专题
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知识点剖析
在解答初中数学几何问题中，将复杂的图形通过各种辅助线分割成各类经典简单的几何图形，由难化简是最有效的解题手段。
在今天的题型讲解中，我们将通过几道经典例题协助同学们解决和使用平行四边形知识点来解题。
平行四边形问题
01
原理讲解
如图：直角三角形ABC，AB=8，BC=6，AC=10.D在AC从A往B运动，每秒2个单位，E在BC从B往C运动，每秒1个单位，EF始终平行AB。当时间为何值时，四边形AFED为平行四边形
1.表示线段
2.求解DE∥AC
3.A字形相似时即可
4.解方程
02
典型例题
1．（宁波期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒5/3个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）先根据题意用t表示出CQ，AP，AD的长，再根据勾股定理得出PD的长，由S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD即可得出t的值；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等即可得出结论．
【解答】
解：（1）∵由题意可得：CQ＝2t，AP＝t，AD＝5/3t，
∴BQ＝8﹣2t，CP＝6﹣t．
又∵PD⊥AC，
∴PD＝√AP²-√AD²＝4/3t．
∵S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD，
∴24﹣（1/2×2t×（6﹣t）+1/2t×4/3t）＝12，
（t﹣9)²＝45，解得t＝9±3√5，
t＝9+3√5（不合题意，舍去），
∴当t＝9﹣3√5时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半；
（2）存在，t＝2.4（秒）．
若四边形BQPD为平行四边形，则BQ与PD平行且相等，
即：3/4t＝8﹣2t，
解得t＝2.4．
答：存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形，此时t＝2.4秒．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的对边平行且相等是解答此题的关键．
03
同类练习
1．（2018春·达川区期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝ 8﹣2t ，PD＝3/4t ；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．
【分析】
（1）根据题意得到CQ＝2t，AP＝t，求出BQ，证明△ADP∽△ABC，根据相似三角形的性质求出PD；
（2）根据平行四边形的判定方法列出关于t的方程，解方程即可；
（3）以点C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出直线M′M′′的解析式，根据一次函数图象上得的坐标特征得到PQ的中点M在直线M′M′′上，根据勾股定理计算即可．
【解答】
解：（1）由题意得，CQ＝2t，AP＝t，
则BQ＝8﹣2t，
∵DP⊥AC，BC⊥AC，
∴PD∥BC，
∴△ADP∽△ABC，
∴AP/AC＝PD/BC，即t/6＝PD/8，
解得，PD＝4/3t，
故答案为：8﹣2t；4/3t；
（2）存在，
∵PD∥BC，
∴当PD＝BQ时，四边形PDBQ为平行四边形，
∴8﹣2t＝4/3t，
解得，t＝2.4，
则当t＝2.4时，四边形PDBQ为平行四边形；
（3）以点C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，
由题意得，0≤t≤4，
当t＝0时，点M′的坐标为（3，0），
当t＝4时，点M′′的坐标为（1，4），
设直线M′M′′的解析式为：y＝kx+b，
则，
3k+b=0
k+b=4
解得，k=-2，b=6
∴直线M′M′′的解析式为：y＝﹣2x+6，
由题意得，点P的坐标为（6﹣t，0），点Q的坐标为（0，2t）
∴在运动过程中PQ的中点M的坐标为[(6-t)/2，t]，
当x＝(6-t)/2时，y＝﹣2×(6-t)/2+6＝t，
∴点M在直线M′M′′上，
作M′′N⊥x轴于N，
则M′′N＝4，M′N＝2，
由勾股定理得，M′M′′＝√4²+√2²＝2√5，
∴线段PQ中点M所经过的路径长为2√5．
【点评】
本题考查的是平行四边形的判定、待定系数法求一次函数解析式、点的轨迹问题，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤、正确确定点的运动轨迹是解题的关键．
2．（2014春·湖北校级期中）如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（21，12），C（16，0）．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）．
（1）设△PQC面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；
（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．
【分析】
（1）根据题意可得QO＝t，QC＝16﹣t，根据三角形的面积公式可得S＝×12×（16﹣t），再整理可得关系式；
（2）由题意得：QP＝2t，QO＝t，PB＝21﹣2t，QC＝16﹣t，根据平行四边形的判定可得21﹣2t＝16﹣t，再解方程即可；
（3）①当PQ＝CQ时，12²+t²＝（16﹣t)²，解方程得到t的值，再求P点坐标；②当PQ＝PC时，由题意得：QM＝t，CM＝16﹣2t，进而得到方程t＝16﹣2t，再解方程即可．
【解答】
解：（1）运动时间为t秒，则QO＝t，
∵CO＝16，
∴QC＝16﹣t，
∵动点P从点A出发，在线段AB上移动，
∴P点纵坐标为12，
∴S＝1/2×12×（16﹣t）＝﹣6t+96；
（2）由题意得：AP＝2t，QO＝t，
则：PB＝21﹣2t，QC＝16﹣t，
∵当PB＝QC时，四边形PQCB是平行四边形，
∴21﹣2t＝16﹣t，
解得：t＝5，
∴P（10，12），Q（5，0）；
（3）当PQ＝CQ时，过Q作QN⊥AB，
由题意得：12²+t²＝（16﹣t)²，
解得：t＝7/2，
故P（7，12）Q（7/2，0），
当PQ＝PC时，过P作PM⊥x轴，
由题意得：QM＝t，CM＝16﹣2t，
t＝16﹣2t，
解得：t＝16/3，
2t＝32/3，
故P（ 32/3，12）Q（16/3，0）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，等腰三角形的判定，关键是注意分类讨论，不要漏解．