【二次函数专题二】平行四边形存在性问题探究
专题导入
导例： 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P，A，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 ．
说明：我们知道不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内另找一个点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种，如图，以AB为对角线的□ACBD1，以AC为对角线的□ABCD2，以BC为对角线的□ABD3C．
方法点睛
方法指引：解平行四边形的存在性问题一般分三步：
第一步：寻找分类标准；
第二步：画图；
第三步：计算．
知识储备：
平行四边形顶点坐标公式：□ABCD的顶点坐标分别为A(xA，yA) ，B(xB,yB)，C(xC,yC)，D(xD,yD)，则xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD．
证明：
∴xA+xC=xB+xD，yA+yC=yB+yD．即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．
【导例答案】P，A，C三点是确定的，过△PAC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图4）．D1(2, 7)，D2(－4, 1)，D3(－2, －1)．
典例精讲
类型一：已知三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题
例1 如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴的负半轴交于A点，与y轴交于C点，顶点是M，经过C，M两点作直线与x轴交于点N．
(1)直接写出点A，C，N的坐标．
(2)在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析
(1)分别令________和________即可求得A，C两点的坐标，由抛物线的函数解析式即可求得顶点M的坐标，然后求出直线CM直线的函数解析式便可求得点N的坐标．
(2)根据能导例的方法，先求出使得以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形的点P的坐标，然后逐一代入抛物线的函数解析式验证得符合条件的点P．
类型二： 已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形
例2 如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)求点D的坐标．
(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
分析
(1)由OA的长度确定出点A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式____________，将________的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线的函数解析式．
(2)设直线AC的函数解析式为y＝kx＋b，将点A，C的坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC的函数解析式，与____________联立即可求出点D的坐标．
(3)存在，分两种情况考虑：
①若AD为平行四边形的对角线，则有MD∥________，MD＝________；
②若AD为平行四边形的一边，则MN∥________，MN＝________，此时通过画图可知有两种情况．
专题过关
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M．N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．
2． 如图，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标．
(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，是将抛物线y＝－x2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A(－1，0)，另一个交点为B，与y轴的交点为C．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标．
(3)点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y＝3/2x＋3/2的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，则这样的点P，Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．
4． 已知抛物线y=x2－2x+a(a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y=1/2x－a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N．
(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M( ), N( )；
(2)如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；
(3)在抛物线y=x2-2x+a(a＜0）上是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
5．如图，直线AB：y＝1/2x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是第一象限内直线AB上一点，过点C作CD⊥x轴于点D，且CD的长为7/2，P是x轴上的动点，N是直线AB上的动点．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）如图①，若点M的坐标为（0，-3/2），是否存在这样的P点．使以O，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若有在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，将直线AB绕点C逆时针旋转交y轴于点F，交x轴于点E，若旋转角即∠ACE＝45°，求△BFC的面积．