解方程（八）

甬上煌言

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我们来看例子：

例1

求

我们当然可以把这个二元一次方程解出来，毕竟这些数还不算很大。。。

然后，emmm，你是想gauss消去？还是代入法？

贼老师

这个过程很机械，我懒，总之，在没有办法的情况下，这的确是一个好办法。

有些时候我们看不起硬算，确实如此，因为显得很笨拙。但是在应试的时候，能做出来的办法就是好办法，所以真的想不到什么简便算法，那就直接硬算，这不是和你开玩笑，而且硬算也不见得就有多麻烦——毕竟你把找寻巧算的时间加上，没准硬算都直接出来了。

当然，我们现在是平时训练，就要缩短那种找巧算的时间，反正有硬算保底，到了考试的时候，一两分钟觉得巧算毫无头绪就可以直接开搞硬算了，没必要和题目死磕！

由于数字全部计算出来以后非常丑陋，不符合我们的解题审美，所以这时候我们采用的策略就是：

不要展开那些数字，让他们留着。

我们仍然要通分，否则下一步都无法开展，我们把两边的分母都去掉，得到：

有什么发现么？

贼老师

我们看到，

恰好是一元二次方程：

的两个根！

是不是amazing！

贼老师

没什么好amazing的，题目都凑好的罢了。。。

贼老师

我们把方程整理一下，就变成了：

但是，这和我们要求的

有什么关系呢？

韦达定理告诉我们，

即

所以

是不是大大简化计算了？

贼老师

敲黑板划重点

这个题目告诉我们，不要先入为主，直接把这个题目当二元一次方程做，当然也可以做出来，但是会很繁琐；其次，韦达定理不要光想着顺的情况，对于各种变形，只要实质是根和系数的关系，就应该要联想到韦达定理。

我们再来解一个方程：

例2

报告贼老师，我不会！

是啊，这个已经是二元二次方程了！而且还带根号的！怎么做啊？！

贼老师

很多时候人不是被难死的，是被吓死的。

其实，练一个难题或者说吃透一个难题的效果远远好于普通的习题五个十个的效果。因为考察的知识点全面，而且你必须要具备分解题目的能力——就是把题目中每个知识点还原出来。

这个题之所以觉得难，是因为无论根式方程还是二元二次方程，都是我们从来没接触过的类型。但是在五年之后的高考里，就有一类题型专门考你没学过的玩意。你要在极短的时间内利用题干所给的信息进行解题，而且题干给出的信息是足够的。

既然我在这里放这个题，说明这个题目一定是能够用你们所学过的知识解决的！看到这里，是不是觉得信心回来一点呢？

我们来看，在这个方程组里，x+2和y+3是反复出现，唯一没有出现的地方在于第一个方程的x+y处。但是从x+y变到x+2和y+3是很容易的事：x+y=x+2+y+3-5.做出这样的一个变换是因为x+y实在是太碍眼了。

于是我们把方程可以改写成：

这里u=x+2,v=y+3.

比上面的式子看起来稍微清爽了一点，但是似乎并没有什么用啊！

别着急嘛。。。

做数学题切忌心浮气躁。我们在教学的过程中，更多的是需要培养孩子攻克难题的勇气，当然顺便磨炼的自己的耐心，恩，一定是这样的。

贼老师

我们正常人对于根式运算总是排斥的，因此，在这个式子里，让你感到违和的一定是

我们换元的一个很重要原则就是看谁不爽就换掉谁，于是我们继续做换元：

这不是平方差公式可以用了么？！把第二个方程除以第一个方程，马上可以得到

看到这个式子就知道，题目肯定做对了。

为什么？！

你看19,39,741这些数字，是不是看起来很不美？但是恰恰都能除尽，说明这个数字是凑好的，就应该是这条路，这也是判断自己是否走在一条正确的路上的检验方法。

我这辈子碰到的不凑数字的考试只有大一下考高等代数的时候一道空间解析几何题目，当时的系主任随手出了那道题，也没有凑过数字，做出一个极其丑陋的答案，除此以外的答案都比较正常，所以碰得到741这种不常见的数字，恰好分解成19×39，你觉得这会是巧合么？

这个时候就变成了二元一次方程，我们马上可以得到s=29,t=10.代入到变换之前，我们可以得到：

此时，再用韦达定理的逆定理，u,v就是一元二次方程

的两个根，解得分别为25和4.

那究竟是u等于25还是v等于25呢？

看起来无所谓。

所以方程有两组解：

即

我们来总结一下：今天主要讲的是韦达定理的逆定理的运用，以及换元法的反复使用，同时结合了一元二次方程和二元一次方程等知识点。

现在是不是对难题的组成已经比较有感觉了？

贼老师

下课！

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