《自然哲学的数学原理》的定义和公理化体系分析
在《重新认识《几何原本》——致那些年我们白学的几何》里，我详细的跟大家介绍了欧几里在《几何原本》里开创的这种公理化体系，以及这种体系给西方科学带来的巨大影响：《几何原本》最重要的不是证明了多少几何学的命题（实际上，《几何原本》里的几何学命题在欧几里得之前都已经有证明方法了），而是他重新梳理了这些命题，极富创造力的从这一大堆的命题中提取出了5个基本公设，然后从这5个基本公设一步一步逻辑严密的推导出了后面四百多个命题。
在这样的操作之下，那些原本零零散散的几何命题就被有机的结合在了一起，只要那5个基本公设是牢靠的，那么后面的那么多命题也是绝对牢靠的，欧几里得建立的这种科学体系就叫公理化体系。公理化体系顾名思义，就是从几个最基本显而易见的公理出发，一步步最终推导出整个科学体系的一种方法。
两千多年来，《几何原本》一直是西方人学习几何的最主要教材，这本书在西方的流传度仅次于《圣经》。欧几里得开创的这种方法也影响了无数的科学家，爱因斯坦小时候被几何学这种“严密而确定的力量”迷得神魂颠倒，牛顿更是他的死忠脑残粉，所以我们的牛顿同学在写他的传世巨著《自然哲学的数学原理》的时候也基本按照《几何原本》的样式来，他建立的也是一个地地道道的公理化力学体系。
《自然哲学的数学原理》（后面简称《原理》）最开始给出了几个定义，然后给出几条运动定律和推理规则，经过一系列的推理和演算，得到一些普适的结论就，再把这些结论运用到实际中去，再和实验数据和观测数据作对照。为了让大家对牛顿力学的这种公理化体系有个大致的了解，我们来看一看牛顿在《原理》中给出的定义、定律和规则。
《原理》的八大定义
《原理》一书的最开始就是8个定义，后面牛顿自己补充了4个很重要的定义。在看牛顿的定义之前，我们先来看看1971年10月在国际度量大会上确定的七个基本单位：长度单位米（m），时间单位秒（s），质量单位千克（kg），热力学温度开尔文（K），电流单位安培（A），光强度单位坎德拉（cd），物质的量单位摩尔（mol）。
这个基本的单位也可以看做是一个简单的公理化体系，他们定义了几个最基本的物理量，然后其他的物理量都通过这几个量来定义。比如我已经定义了长度单位米，那么面积和体积的单位就不需要再单独定义，而可以通过米来。但是，大家要了解，人们对物理世界认识程度是不停的在变化的，因此在不同阶段不同的基本定义也完全是可以不一样的。
定义一：物质的量是物质的度量，可由其密度和体积共同求出（质量）。
这就是我们今天说的质量。质量在现在是七大基本单位之一，属于最基本的单位。但是在牛顿那个时代还没有得到公认，也还没有国际公认的质量标准和统一单位。因为牛顿在观察中发现一切物体无论怎么变化，受什么样的力，它的密度和体积的乘积都是不变的，牛顿就用密度和体积来定义这个物体的量。
定义二：运动的量是运动的度量，可由速度和运动的量共同求出（动量）。
这是动量的定义。在高中课本里，动量的就是物体的质量和速度的乘积，然后再给出了动量守恒定律。我自己的一大感受就是，动量的定义虽然简单，但是大家对这个物理量的理解却经常觉得很困扰，因为不知道如何建立一个跟它对应的物理直觉。而对应的动能和能量就好理解的多，这种“对外做功”的能力跟我们日常理解的能量差别也不大。
但是，大家如果看到牛顿在《原理》里对动量跟朴素的定义，或许要更好理解一些。在牛顿眼里，动量就是一个用来度量物体运动的量。
如果把运动当作一个新的实体来考虑，在一个台球桌上，一个台球打中了其他的台球，这个台球不动了，其他的台球就开始动了。如果不考虑台球桌面的摩擦力和碰撞过程的能量损失，那么物体的运动这个量是不是看起来就是在不同的球之间传来传去？那么这个运动的总量是保持不变的。从这个角度去理解动量和动量守恒，或许会简单很多。
定义三：visinsita，或者物体固有的力，是一种起抵抗作用的力，它存在于每一个物体之中，大小与改物体相当，并使之保持现有的状态，或是静止，或是匀速直线运动（惯性力）。
这个就是惯性的定义，只不过牛顿也给了它一个力（也就是惯性力）的名字。
定义四：外力是一种对物体的推动作用，使其改变静止的或者匀速直线运动的状态（外力）。
这个外力，就是牛顿第二定律里的那个F。
定义五：向心力使物体受到指向一个中心点的吸引、或推斥或任何倾向于该点的作用（向心力）。
定义六：以向心力的绝对度量量度向心力，它正比于中心导致向心力产生并通过周围空间传递的作用源的性能。
定义七：以向心力的加速度度量量度向心力，它正比向心力在给定时间里所产生的速度部分。
定义八：以向心力的运动度量量度向心力，它正比于向心力在给定时间里产生的运动部分。
定义五、六、七、八都是关于向心力的，以及向心力的度量、向心加速度的度量和向心运动量的度量。现在我们谈论的比较多的向心力和向心加速度，其实的概念则用的比较少了。不过总的来说，这些概念跟我们现在还是比较熟悉的，但是在当时，这都是些鲜为人知的术语。
但是，即便这些术语在当时鲜为人知，这些概念本身倒是明确的很，并不会引起很大的争议和讨论，而真正引起世人们的广泛讨论的是牛顿在这后面做的四条补充定义。而为什么这补充的四条定义会引起这么广泛的讨论呢，大家看看这四条定义的名字就能猜出一二了：绝对时间、相对时间、绝对空间、相对空间。
绝对时间和绝对空间的定义
牛顿在定义完了前八个基本定义之后，在附注里写道：至此，我已经定义完了这些鲜为人知的术语，解释了它们的意义，以便在以后的讨论中理解它们。我没有定义时间、空间、处所和运动，因为它们是人所共知的。唯一需要说明的是，一般人除了通过可感知客体外无法想象这些量，并会由此产生误解。为了消除误解，可方便的把这些量分为绝对的和相对的，真实的和表象的以及数学的和普通的。
我在讲相对论的时候会经常说到时空，很多人以为时空只是时间+空间的一个缩写，但是其实不是这样。相对论里的时空是一个最基本的单元，这个最基本的单元有三个空间分量和一个时间分量，他们是一个不可分割的整体。因此，我在牛顿这里说绝对时间和绝对空间的时候，就特意著名并把它们直接分开。
在牛顿这里，时间是时间，空间是空间，两者没有关系，而且都是绝对的；在爱因斯坦那里，不再有单独的时间和空间，只有一个东西，就是时空。这一点要特别注意。
接下来牛顿就对绝对的时间、空间、处所、运动做了自己的定义，因为这部分内容牵扯牛顿力学的世界观，对后世的影响很大也很重要，所以这些东西我们下篇文章再来单独介绍。