高中数学：构造常数数列 巧求数列通项

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构造常数数列  巧求数列通项

湖北省阳新县高级中学     邹生书

已知数列递推关系求数列通项公式，尽管递推关系表现形式多种多样，求数列通项的方法精彩纷呈，但求通项的基本思想只有一个，那就是转化和化归思想。根据数列递推关系形式上的特点，采用适当的方法将其转化为新的等差数列或等比数列，求出新数列的通项，进而求出所求数列的通项公式。

非零常数数列既是公比为1的等比数列也是公差为零的等差数列。在数列{a_n}中，若对任意的正整数n都有a_n+1=a_n，则数列{a_n}为常数数列，其通项公式为a_n=a₁。在求某些递推数列的通项公式时，若能构造出一个新的常数数列，便能简捷地求出通项公式。下面举例说明构造常数数列求数列通项公式等问题的思想方法，供参考。

点评：例1的解法2关键是会解读等积式为常数数列，有整体意识会用常数数列的定义识别就可以了，属于认知理解阶段。而例2的解法2则需要变形两边乘以（n+1）后才能成为常数数列，属于构造常数数列求解通项，是有意识地应用常数数列解题阶段，是创造性思维，思维层次明显要高一个档次。

下面我们再来看一些能够通过构造常数数列求数列通项的例子。

（Ⅱ）对数列{a_n}的通项公式我们有如下两种构造常数数列的求解方法：

法1 先求前n项和Sn，再求通项a_n

构造常数数列不仅可简捷地解决一类已知递推关系求数列通项的数列问题，而且可解决某些与数列有关的问题，举例如下：

例7（2005年广东省高考题改编）