再读高考|图形背景下的解三角形

我们都知道,解三角形,无非就是已知三角形的三条边或角,求其余的边或角的问题。

就是所谓的知三求三了。

初中阶段的解三角形,主要工具应该只有勾股定理。

也就是说,首先必须要寻找或构造一个直角三角形。

那么,高考中,图形背景下的解三角形问题,其实和初中平面几何中求边或角的问题是一样的。

只是在初中的基础上,除了最喜欢的勾股定理,又增加了一些求解的工具而已。

而这些工具,当然主要就是我们最熟悉的……

正弦定理

余弦定理

面积公式

有时甚至还会用到射影定理

当然,什么条件下用哪个工具,就看你自己对条件和结论特征的梳理和理解了。

如果真的没有好的思路,挨个的定理都试试,也是不错的选择的。

下面就根据这些思路,来说说2018年全国I卷的解三角形,以给同学们一点经验。

其实,具体到解三角形的三个条件,根据三角形确定的因素,主要就是SSS,SAS,SSA,AAS,ASA了。

其中,唯一不能作为三角形全等判定的SSA,则更是高中阶段重点考查的一种。

但不论是哪一种情况,既然是解三角形问题,我们都应该先确定一个三角形。

也就是,要求某条边或某个角,就首先要确定这条边或这个角,所在的是那个三角形。

然后,再确定三角形中已知了哪三个条件,并根据条件具体确定用哪些工具去进行求解。

下面先解决第一问:

Ideas 1

几 何 法

几何问题首选几何法,实在不行,再考虑用其它的方法。

这是我们解决任何一类问题的基本思维了。

只是用几何法,不可避免就会有一些添加辅助线的过程。而这,也正是初中平面几何的难点吧。

就象是上面的解法,添加了一条垂线,构造了一个直角三角形,就让问题显得如此的简单。

你是不是也会想到,如此小儿科似的解法呢?

估计在初中生眼里,这根本就不象是传说中的高考题了吧……

Ideas 2

正弦定理法

仔细一看,条件是显然的SSA。

一般来说,SSA条件下的解三角形,因为有一组对边角,首先考虑的当然就应该是正弦定理了。

不过说真的,SSA条件下的解三角形,是解三角形中最常见和最重要的一种。

从这个角度来说,高考的这个题还是重点问题重点考查的了。

Ideas 3

余弦定理法

一般来说,SSA条件下的解三角形,如果是求第三边,是可以直接用余弦定理的

但这里的求角,用余弦定理,过程上就稍显复杂了一些。

思维的过程上,拐了一个弯了。

Ideas 4

面 积 法

这里用的面积法,有没有给人一种耳目一新的感觉?

其实,前面已经说了解三角形的几个工具,我只不过是挨个试了下,凑巧觉得面积法在这里也真的是好用而已。

Ideas 5

解 析 法

什么时候用解析法呢?

当然是几何问题用几何的方法解决不了时,应该要想到的。

就是所谓的,山穷水尽疑无路吧。

解析法,也确实是解决平面几何问题最重要的方法了。

看看过程,真的还是挺简洁的。

只是这个高考题,让解析法觉得,大材小用了点了。

其实,真的还想搞个向量法的。

因为向量也是解决平面几何问题最好的方法之一啊。

只是,这个题因为实在太简单了点吧,也没什么实在的意义。

不过,真的是强烈建议,向量法解决平面几何问题,应该还是要作为一种重要方法,储存在自己的记忆深处。

在第一问的基础上,又有了边DC的长,那么在ΔBCD中,显然知三的条件便是SAS了。

SAS条件下求第三边,当然直接用余弦定理。

或者在第一问解析法的基础上,直接用两点间距离公式便直接搞定了。

三角形的中线角平分线,是不是三角形中最常见的量了呢?

其实,还是有很多的孩子,看到这两个量,会懵好一会的。

正好从这个题,我们总结一下三角形中线与角平分线的计算思路,普及一些一般性的求解方法。

先看三角形中线长的计算思路吧:

Ideas 1
几 何 法

其实这里的作辅助线,如果是初中生,可能会更熟练一点。

因为,高中生现在,可能已经很少做辅助线了。

但这种思路,确实是简单随意的。

Ideas 2
向 量 法

其实,向量法稍微前进一步,就是传说中的“极化恒等式”了。

在客观题中,这个结论,是可以秒杀中线长结论的。

Ideas 3
中线长定理

其实,三角形的中线定理,可以用平行四边形的性质,很容易得出的。

结论:平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和。

而我这里的求解过程为什么那么复杂?

还是因为这个结论,应该是不可以直接使用的吧。我实际上是做了个平行四边形结论的证明罢了。

不然叫不知道结论的孩子,情何以堪了呢?

Ideas 4
余弦定理

这种利用公共角建立等量关系,也是一种很巧妙的思路了。

只是可惜,计算量确实是大了点。

Ideas 5
解 析 法

其实总觉得,解析法一如既往的好。

只是建系应该是一个关键了。因为建系的科学与否,直接会影响解题过程的复杂程度。

但一定总是可以的!

五种思路,虽然有些很相似,但是毕竟角度还是不一样的,对于我们以后求中线长的问题,应该足够可以借鉴了。

下面开始处理角平分线

其实说到角平分线,不得不先交待下关于它的两个常见性质:

①角平分线上的点,到角两边的距离相等;

②三角形角平分线分对边所得两段之比,等于角相应两邻边之比。

其次,三角形的角平分线长公式,我觉得也是时候了解下了。

如果已知了三角形的三边,用它求角平分的长度,是不是会很爽的?

其实,还有一个更爽更好看的角平线公式呢。

果然,是不是很整齐、更养眼的一个式子!

用这两个结论,就可以秒解第二问了:

或者更简单的:

如果不知道这么好的结论,会不会惭愧到爆呢!

只是对于解答题,还是想想算了,最好还是要有正经的求解过程和正常思路。

但也不是说它俩没有一点用处,起码可以用来验证你辛苦半天的结果,是不是正确的。

Ideas 1
面 积 法

之所以第一个思路就用面积法,也是因为这种解法的另辟蹊径。

是不是也觉得,这个思路真的是好呢?

所以,解三角形时对条件的分析,以及条件和结论关系的理解,都是至关重要的。

Ideas 2
角平分线+双余弦

和第一问一样的用到了公共角。

所以,要求某个量,一定要首先寻找关于这个量的一个等式,或方程。

而等量关系的寻找,就要看自己的解题经验了。

多做题,多思考,多整理和总结,才是做学生和老师最重要的素质。

Ideas 3
角平分线+余弦定理

这个的思路,也没什么好评价的。

依然如前面所说,要求某个量,就先找个三角形吧。

然后,再想办法找三个条件了。

Ideas 4
角平分线+邻补角

又用到了邻补角!

只是和中线不一样的是,不能直接相加而消角了。

有点解析几何中,非对称韦达的意思。

最后,做个简单的总结吧。

解三角形问题基本思维过程:

第一步:定条件:确定三角形中的已知和所求,在图形中标出,确定转化的方向;

第二步:定工具:根据条件和所求,合理选择转化工具,进行边角之间的转化;

第三步:求结果

在具体求解过程中,要注意三角形内角和为180°,大边对大角等隐含条件的使用。

END
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