再读高考｜图形背景下的解三角形
我们都知道，解三角形，无非就是已知三角形的三条边或角，求其余的边或角的问题。
就是所谓的知三求三了。
初中阶段的解三角形，主要工具应该只有勾股定理。
也就是说，首先必须要寻找或构造一个直角三角形。
那么，高考中，图形背景下的解三角形问题，其实和初中平面几何中求边或角的问题是一样的。
只是在初中的基础上，除了最喜欢的勾股定理，又增加了一些求解的工具而已。
而这些工具，当然主要就是我们最熟悉的……
正弦定理
↓
余弦定理
↓
面积公式
↓
有时甚至还会用到射影定理
↓
当然，什么条件下用哪个工具，就看你自己对条件和结论特征的梳理和理解了。
如果真的没有好的思路，挨个的定理都试试，也是不错的选择的。
下面就根据这些思路，来说说2018年全国I卷的解三角形，以给同学们一点经验。
其实，具体到解三角形的三个条件，根据三角形确定的因素，主要就是SSS,SAS,SSA,AAS,ASA了。
其中，唯一不能作为三角形全等判定的SSA，则更是高中阶段重点考查的一种。
但不论是哪一种情况，既然是解三角形问题，我们都应该先确定一个三角形。
也就是，要求某条边或某个角，就首先要确定这条边或这个角，所在的是那个三角形。
然后，再确定三角形中已知了哪三个条件，并根据条件具体确定用哪些工具去进行求解。
下面先解决第一问：
Ideas 1
几 何 法
几何问题首选几何法，实在不行，再考虑用其它的方法。
这是我们解决任何一类问题的基本思维了。
只是用几何法，不可避免就会有一些添加辅助线的过程。而这，也正是初中平面几何的难点吧。
就象是上面的解法，添加了一条垂线，构造了一个直角三角形，就让问题显得如此的简单。
你是不是也会想到，如此小儿科似的解法呢？
估计在初中生眼里，这根本就不象是传说中的高考题了吧……
Ideas 2
正弦定理法
仔细一看，条件是显然的SSA。
一般来说，SSA条件下的解三角形，因为有一组对边角，首先考虑的当然就应该是正弦定理了。
不过说真的，SSA条件下的解三角形，是解三角形中最常见和最重要的一种。
从这个角度来说，高考的这个题还是重点问题重点考查的了。
Ideas 3
余弦定理法
一般来说，SSA条件下的解三角形，如果是求第三边，是可以直接用余弦定理的。
但这里的求角，用余弦定理，过程上就稍显复杂了一些。
思维的过程上，拐了一个弯了。
Ideas 4
面 积 法
这里用的面积法，有没有给人一种耳目一新的感觉？
其实，前面已经说了解三角形的几个工具，我只不过是挨个试了下，凑巧觉得面积法在这里也真的是好用而已。
Ideas 5
解 析 法
什么时候用解析法呢？
当然是几何问题用几何的方法解决不了时，应该要想到的。
就是所谓的，山穷水尽疑无路吧。
解析法，也确实是解决平面几何问题最重要的方法了。
看看过程，真的还是挺简洁的。
只是这个高考题，让解析法觉得，大材小用了点了。
其实，真的还想搞个向量法的。
因为向量也是解决平面几何问题最好的方法之一啊。
只是，这个题因为实在太简单了点吧，也没什么实在的意义。
不过，真的是强烈建议，向量法解决平面几何问题，应该还是要作为一种重要方法，储存在自己的记忆深处。
在第一问的基础上，又有了边DC的长，那么在ΔBCD中，显然知三的条件便是SAS了。
SAS条件下求第三边，当然直接用余弦定理。
或者在第一问解析法的基础上，直接用两点间距离公式便直接搞定了。
三角形的中线与角平分线，是不是三角形中最常见的量了呢？
其实，还是有很多的孩子，看到这两个量，会懵好一会的。
正好从这个题，我们总结一下三角形中线与角平分线的计算思路，普及一些一般性的求解方法。
先看三角形中线长的计算思路吧：
其实这里的作辅助线，如果是初中生，可能会更熟练一点。
因为，高中生现在，可能已经很少做辅助线了。
但这种思路，确实是简单随意的。
其实，向量法稍微前进一步，就是传说中的“极化恒等式”了。
在客观题中，这个结论，是可以秒杀中线长结论的。
其实，三角形的中线定理，可以用平行四边形的性质，很容易得出的。
结论：平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和。
而我这里的求解过程为什么那么复杂？
还是因为这个结论，应该是不可以直接使用的吧。我实际上是做了个平行四边形结论的证明罢了。
不然叫不知道结论的孩子，情何以堪了呢？
这种利用公共角建立等量关系，也是一种很巧妙的思路了。
只是可惜，计算量确实是大了点。
其实总觉得，解析法一如既往的好。
只是建系应该是一个关键了。因为建系的科学与否，直接会影响解题过程的复杂程度。
但一定总是可以的！
五种思路，虽然有些很相似，但是毕竟角度还是不一样的，对于我们以后求中线长的问题，应该足够可以借鉴了。
下面开始处理角平分线。
其实说到角平分线，不得不先交待下关于它的两个常见性质：
①角平分线上的点，到角两边的距离相等；
②三角形角平分线分对边所得两段之比，等于角相应两邻边之比。
其次，三角形的角平分线长公式，我觉得也是时候了解下了。
如果已知了三角形的三边，用它求角平分的长度，是不是会很爽的？
其实，还有一个更爽更好看的角平线公式呢。
果然，是不是很整齐、更养眼的一个式子！
用这两个结论，就可以秒解第二问了：
或者更简单的：
如果不知道这么好的结论，会不会惭愧到爆呢！
只是对于解答题，还是想想算了，最好还是要有正经的求解过程和正常思路。
但也不是说它俩没有一点用处，起码可以用来验证你辛苦半天的结果，是不是正确的。
之所以第一个思路就用面积法，也是因为这种解法的另辟蹊径。
是不是也觉得，这个思路真的是好呢？
所以，解三角形时对条件的分析，以及条件和结论关系的理解，都是至关重要的。
和第一问一样的用到了公共角。
所以，要求某个量，一定要首先寻找关于这个量的一个等式，或方程。
而等量关系的寻找，就要看自己的解题经验了。
多做题，多思考，多整理和总结，才是做学生和老师最重要的素质。
这个的思路，也没什么好评价的。
依然如前面所说，要求某个量，就先找个三角形吧。
然后，再想办法找三个条件了。
又用到了邻补角！
只是和中线不一样的是，不能直接相加而消角了。
有点解析几何中，非对称韦达的意思。
最后，做个简单的总结吧。
解三角形问题基本思维过程：
第一步：定条件：确定三角形中的已知和所求，在图形中标出，确定转化的方向；
第二步：定工具：根据条件和所求，合理选择转化工具，进行边角之间的转化；
第三步：求结果。
在具体求解过程中，要注意三角形内角和为180°，大边对大角等隐含条件的使用。