初中奥数精讲——第21讲 奇数与偶数、完全平方数

一、知识点解析

1. 整数可以分为奇数和偶数两类。

凡能被2整除的整数叫做偶数，被2除余1的整数叫做奇数。通常用2k表示偶数，用2k+1或2k-1表示奇数（k为整数）。

2. 关于奇数和偶数有以下基本性质·

（1）奇数±奇数=偶数；

偶数±偶数=偶数；

奇数±偶数=奇数。

这一性质可推广为：有限个整数的代数和为奇数，则加数中的奇数有奇数个，反之，有限个整数的代数和为偶数，则加数中奇数为偶数个。

（2）奇数× 奇数=奇数；

偶数× 偶数=偶数；

奇数× 偶数=偶数

这一性质可推广为：有限个整数的代数积为奇数，则其中的每一个因数都是奇数；反之，有限个整数的连乘积为偶数，则其中至少有一个因数是偶数。

（3）两个整数的和与差的奇偶性相同。

推论：若干个整数的和与差奇偶性相同。

（4）若m为整数，a为奇数，则m±a的奇偶性与m相反；如果m为整数，b为偶数，则m±b的奇偶性与m相同。

（5）若m是整数，a为奇数，则ma的奇偶性与m相同。

3. 如果一个正整数a是某一个整数b的平方，即a=b²，则称正整数a为完全平方数，也叫平方数。

4. 完全平方数有如下性质：

（1）完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9，也就是说个位数字为2,3,7,8的自然数不是完全平方数。

（2）完全平方数的个位数为奇数（1,5,9）时，十位数字一定是偶数，也就是说个位数字和十位数字都是奇数的自然数一定不是完全平方数。

（3）如果完全平方数的十位数字为奇数，则它的个位数字一定是6；反之，则它的十位数字一定是奇数。

（4）偶数的平方是4的倍数；奇数的平方式4的倍数加1，也是8的倍数加1类型的数。

这部分主要考察学生的对奇数与偶数、完全平方数的了解及掌握，这部分属于代数部分的常考的知识，这部分需要对奇数与偶数、完全平方数有足够的知识了解，题型变化多，要夯实基础，才能保证在奇偶数、完全平方数的学习上赶超别人，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1 （全国初中数学联赛试题）

1,2,3，…，98共98个自然数中，能够表示成2整数的和与这两个整数差的积的数的个数有_________个。

例2 （《学习报》初三公开赛题）

π的前24个数字为3.14159265358979323846264，记a1，a2，a3，。。。，a24为该24个数字的任一排列，求证：

必为偶数。

例3 （“华罗庚金杯”邀请赛试题）

将图中的圆任意涂上红色或蓝色，问：有无可能使得在同一直线的红圈数都是奇数？请说明理由。

例4 （“五羊杯”初中数学竞赛试题）

设x为5位以上的完全平方数，它的后4位数字（按原来顺序）也组成一个完全平方数y，y≠0，且删去x的末4位数字仍得到一个完全平方数，则x的最大值为________。

例5

有n个整数，其积为n，其和为零，求证：整数n能被4整除。

例6

一个四位数，它们前两位数字相同，后两位数字也相同，且这个四位数为平方数，求这个四位数。

例7 （北京市初二决赛试题）

在6张纸片的正面分别写上整数1,2,3,4,5,6，打乱次序后，将纸片反过来，在它们的反面也随意分别写上1~6这六个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写的数字之差的绝对值，得到6个数，请证明：所得的六个数中至少有两个是相同的。

例8 （加拿大数学竞赛试题）

设n是整数，如果n²的十位数字是7，那么n²的各位数字是什么？

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