以“相反数”的教学为例谈如何提问题

在课堂教学中,为了演绎知识,授课教师经常要向学生提出问题,希望学生能够通过对问题的思考展开数学思维活动.但是,提什么样的问题才能在课堂教学中发挥出应有的作用,体现出问题的教学价值呢？那种学生不假思索、张口就能回答的问题显然不属于有价值的问题，这样的问题往往是教师准备不足,没有设计就随意问出来的;还有就是所提出的问题与本节课的教学逻辑主线是偏离的,这样的问题就属于没有扣住本节课的主题;一些教师为了确认知识,提出类似答填空题的问题更是无法激发学生的数学思维,属于在教学中尽量不提的“问题”.那么,如何在课堂中提出有思维含量的问题呢？我以7年级第一学期所要学习的第一章《有理数》中的“相反数”的教学为例,阐述一下我对如何提问题的一点思考.

“相反数”这节课之前,学生学习了“正数和负数”、“有理数”、“数轴”. 按照教材的设计,“相反数”这节课的第一个问题是:“在数轴上，与原点的距离是2的点有几个？这些点各表示哪个数？”.如果教师在引入环节也是把上述问题作为问题提出来的话,学生有可能会很快就回答出来,而教师期待的数学思维活动却可能没有激发出来.

实际上,引入环节教师所提出的数学问题肩负着一个重要的使命,就是要能够搭建本节课所要学习的知识与前面所学知识之间的内在逻辑关系.通过这个问题,要让学生在前面知识学习的基础上,提炼出一些具有一般性、观点性的思考或想法,为本节课学习“相反数”打下一个好的思维基础.为此,可以设计如下几个问题:

问题1:我们是如何理解有理数的?

答:从代数的角度看:可以分为正有理数、负有理数、零;

从几何的角度看:任意一个有理数,在数轴上都对应着一个点.

问题2:如何研究两个有理数呢?

答:要研究它们之间的关系.

追问1:-5与3这两个数是什么关系？

追问2:还有没有更特殊关系的两个有理数呢？

启发学生去思考,引导学生提出类似2与-2，5与-5这样的具有特殊关系的两个有理数;

追问3:这样的两个有理数的代数特征是什么呢？

答:这样的两个数,是只有符号不同的两个数;

追问4:从几何特征看,在数轴上,2与-2所对应的是什么样的两个点呢？

答:数轴上,这两个点在坐标原点的两侧,且到坐标原点的距离相等.

相反数的定义是“只有符号不同的两个数”,这个概念涉及的是两个有理数的问题.上述问题不仅有利于学生理解相反数这个概念,也是在教学生如何研究有理数的思维方法.好的数学问题的标志是能够激发学生对这个问题的深入思考，从学生的角度看，要好好想才能回答这个问题;从教师的角度看,要能够把学生“难住”.比如,下面的问题3,就是把课本的探究问题换了一个形式问,难度就增大了很多.

问题3: 到原点的距离是2的点为什么是两个?

答:实际上,平面上到一个点距离为2的点有无数多个,这些点是动点，其轨迹是半径为2的圆.如果数轴所在直线过这个圆的圆心,则与圆有两个交点,这两个点对应的就是有理数2和-2.

确认知识的提问,其问题本身是没有思维含量的.如下面的问题:正数的相反数是什么数？负数的相反数是什么数？零的相反数是什么数？回答这样的问题,学生不用去思考,只需要记住结论即可应付.而演绎知识的提问,其问题本身是有思维含量的.如上述问题可以这样来问:一个有理数的相反数是什么样的数?如何用数学符号来表示?

学生面对这样的问题,可以从不同角度去阐述他对问题的理解.

从有理数代数特征的角度去回答:这个有理数的相反数是只有和它符号不同的一个有理数;从有理数几何特征的角度去回答:一个有理数的相反数与这个有理数,它们所对应的两个点在数轴上关于坐标原点对称;如果从有理数的分类去表述,就可以回答:正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,零的相反数是零;如果用符号语言来表示,其形式多样,如:a与-a，x-1与1-x，……等.

再比如，没有思维含量的问题是这样提问的:在正数前面添加“-”号,会得到什么数?在负数前面添加“-”号,会得到什么数?有思维含量的问题不是对结论的确认,而是引导学生对结论进行演绎.如可以设计如下的具体问题让学生去思考:你如何理解-(-6)=6？

要回答出这个问题,学生的思维空间很大.学生可以从读懂数学符号-(-6)的代数含义来表达自己的理解,即:这个符号语言所表达的是-6的相反数;还可以从读懂数学符号-(-6)的几何含义来表达自己的理解,即:在数轴上与-6所对应的点关于原点对称的点，这个点对应的数是6.

在教学中,要注重用最基本的数学概念理解问题，而不要过早的提炼所谓的“规律”,如:括号外的符号与括号内的符号同号,则化简符号后的数是正数;括号内、外符号异号,则化简符号后的数是负数.这样的提炼本质上就是为了记忆结论,但缺失的却是用数学概念理解问题的思维过程.

总之,有理数的教学,一方面要定位于思维特征，有关论述可以参考2019年9月9日的文章《如何确定有理数》;一方面要定位于研究方法，即：

研究一个有理数是从代数特征与几何特征两个角度展开的.有理数的代数特征是指有理数的符号与大小;有理数的几何特征是指有理数在数轴上对应的点,也是最简单的几何对象,研究它与坐标原点的位置关系.

对于两个有理数,不仅要研究每个有理数的代数特征与几何特征,还要研究这两个有理数之间的关系.这种关系的研究,也是从代数关系与几何关系两个方面展开的.

为了达到上述教学的目标,精心设计有思维含量的数学问题是至关重要的.这样的问题不是为了降低思维的难度,也不是为了学生“好”理解,更不是为了便于记忆.通过好的数学问题,要把知识的逻辑关系搭建起来,把对数学概念本质的理解揭示出来,让学生掌握研究数的一般思维方法.

（图片：怀柔民宿）