初中代数哪些事儿03方程

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模型技巧-初中经典模型-经典体系

今天又来写初中代数那些事儿了，今天写的是方程，写一写一些常见的不常见的初中方程的相关知识。之前的两期内容请去公众号中查看。

01、方程中的概念

如图：

初中学习的方程大多是两类，但是沪教版是三类，多了一类无理方程

常见的四大方程，都被研究的比较透彻，会求一般情况下的解。

注意初中透彻学习的是可化为一元一次方程的分式方程

    沪教版中额外出现了的方程：都不是一般情况下的方程，而是在比较特殊的情况下的方程，如下：

特殊的高次方程：

特殊的二元二次方程：

特殊的无理方程：

02、解方程的方法

方程不同解法也就不同，学方程就必学会解方程，因为方程是用来解决实际问题的工具。解不了方程，实际问题就没法解决。

解方程的一般方式是变形！

这里注意区分恒等变形和同解变形，有时候利用等式性质进行的变形，并不是同解变形。

当然最基础的就是有一元一次方程的解法：小学学过，初中加强。

整个解方程的思想是转化的思想，先学简单的，再学复杂一点的，解的时候可以把复杂的化为学过的简单情况去求解！比如分式方程和二元（多元）一次方程组，都是化为一元一次方程求解，当然一元二次方程其实也是可以通过因式分解和配方法，然后化为一元一次求解。不过总结出来公式以后就都不用别的了！包括沪教版的，高次方程，无理方程，二元二次方程组，也蕴含了转化的思想。

03、有趣的问题

观察下面的变化过程！

这是前几天于特在群里发的一个图片，引起了老师们的讨论，最后为什么会产生矛盾呢？其实就是同解变形的问题，明眼人能看的出来：

很多老师都发现了第五行的问题：

这是漏解了根，确实，但是一开始无实数根，这个1是怎么多出来的呢？看下面：

现在看出来增根1是这时候产生的。

所以刚才说的，看是等量代换，其实不是同解变换。可能是因为代换式子中出现了平方，而平方具有扰乱正负的作用。

其实这个变形中还有一个问题，就是第二步也不是很严谨，在同除以未知数的时候没有考虑其不为0，原式当中x是可以为0的，变形之后就不能为0了！

04、二元一次方程组的解

二元一次方程组的解，就是对应的两个一次函数图像的交点的俩坐标。

如图：（唯一解）

直线平行（无解）

直线重合（无数解）

05、分式方程的增根

分式方程在变形过程中也不一定是同解变形，也有可能会产生增根。

增根和无解是不一定相关的，也不是毫无关系，因增根而无解的也有很多！

06、配方法推公式法

一元二次方程的求根公式其实是配方法推出的，书上有。可以推推试试，提前熟悉一下字母倒来倒去。高中经常要算字母。

注意最后这一步，根据前文，先平方再开方，是等于绝对值的，但是因为外面是“加减号”所以绝对值也就没什么存在的必要 了！

根据公式还可以推倒：韦达定理！

07、不等式（组）的解法

两不等式取公共部分的顺口溜。

常常借助数轴画图像：

尤其是多个不等式取解集时，看看横线最多且等于不等式个数 的部分就是解集！

不等式求解过程的经典易错点，注意正负，尤其是未知数的时候，要分类讨论正负，当然也可以借助后面学的反比例函数图像！

08、参数问题

参数问题是有通法的：

用上面方法，试试以下的参数问题：

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09、方程的应用

方程就是为实际问题而生的，还记得小学复杂问题的算数方法吗？简直是噩梦。

10、列方程的技巧

方程的解法虽然各有不同，但是方程的列法是统一的，体现一个方法：就是用字母表示数量。