初二奥数精讲——第3讲对称式的因式分解（二） / 开普饭

本讲适用于初二、初三，因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目，所以只要有课堂上基本的知识储备，都可以一起来学习，相信对你的奥数、数学思维，解题思路都大有裨益。

抖音号 “数学奥数思维拓展” 1059021292，持续更新的相关视频讲解。

一、知识点解析

因式分解是一种重要的恒等变形，虽然它是初中阶段学习的内容，在高中阶段也有着非常广泛的应用，比如，比较大小，判断函数的单调性，证明不等式，解高次方程、超越方程等，因此，因式分解历来是“高考”和数学竞赛着重考察的热点问题。

1. 基本知识

对称多项式：设A是一个多项式，如果将A中两个字母互换，得到的多项式与A恒等，则称A关于这两个字母对称。如果多项式A关于它所含的任意两个字母都是对称的，则称A是全对称多项式，简称对称多项式。比如，

都是关于x、y对称的多项式，而只有后者才是全对称多项式。

对称多项式的一般形式为（以三次对称多项式为例）：

基本对称多项式：考察含有三个字母x、y、z的多项式，则x+y+z、xy+yz+zx、xyz称为基本对称多项式。对于含有n个字母的多项式，其n个字母的和、n个字母中每取r（r=2,3,…,n）作积的和，称为n元基本对称多项式。

齐次多项式：如果多项式所有项的次数都相等，则称为齐次多项式。比如，基本对称多项式都是齐次对称多项式。

字母的个数和次数都不超过三的齐次对称多项式具有如下形式：

轮换对称多项式：设A是一个关于n个字母的多项式，如果将A中n个字母任意排列为x1，x2，…，xn，同时将x_i+1(i=1,2,…,n; x_n+1=x1)，得到的多项式与A恒等，则称A是轮换对称多项式。显然，对称多项式一定是轮换对称多项式，但反之则不然。比如，

是轮换对称多项式，但不是对称多项式。

轮换对称多项式：设A是一个多项式，如果将A中两个字母互换，得到的多项式与-A恒等，则称A是关于这两个字母的交代多项式。如果多项式A关于它所含的任意两个字母都是交代对称的，则称A是交代对称多项式，简称交代多项式。比如，

都是交代多项式。

上述一些特殊多项式具有如下一些性质：

（1）任何一个对称多项式均可表示成若干基本对称多项式的和。

（2）任何两个对称多项式的和、差、积仍是对称多项式，任何两个轮换对称多项式的和、差、积仍是轮换对称多项式，任何两个齐次多项式的和、差、积仍是齐次多项式。

（3）两个交代多项式的积是对称多项式，一个交代多项式与对称多项式的积是交代多项式。

2. 基本方法

（1）赋值法：先选择一个字母为主元，将多项式看成是一元多项式，再试验字母（主元）的某些取值使多项式的值为零，由此发现多项式含有的因式。

（2）待定系数法：先根据多项式的特征，发现它含有的某些因式，再根据多项式的次数及多项式的对称性确定它的其他因式，进而将多项式表示成若干多项式的积（含有待定系数）的形式，最后通过比较系数或幅值确定待定系数。

3. 基本问题

（1）对称多项式的因式分解，通常采用赋值法，先通过试验，发现对称多项式含有某些特殊因式，然后将因式中的某两个字母互换，得到的式子仍是多项式的因式。此外，对称多项式也可先将其用基本对称多项式表示，然后再分解。

（2）轮换对称多项式的因式分解，如果一个轮换对称多项式含有某种因式，那么将这个因式中的所有字母按一定顺序轮换（第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，。。。，最后一个字母换成第一个字母），得到的式子仍是原多项式的因式。

（3）交代多项式的因式分解，任何交代多项式一定被它含有的任何两个字母的差整除。

这部分主要考察学生的对对称式因式分解的了解及掌握，这部分是因式分解的进阶部分。题目复杂，要学好解题知识和技巧，才能保证在对称式因式分解方面的学习上超过别人，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1

因式分解：

分析：原式为对称多项式，它可能是若干对称多项式的积，也可能是若干对称多项式与交代多项式的积。不论哪种情形分解因式的关键是发现它的一个因式。令x= -y，得原式=0，所以原式含有因式x+y。由于对称性，它含有因式(x+y)(y+z)(z+x)，由此可见，它的另一个因式为二次齐次对称多项式：

解答：

例2

因式分解：

分析：原式为交代多项式，所以它含有因式(a-b)(b-c)(c-a).又原式为四次多项式，而(a-b)(b-c)(c-a)为三次多项式，所以原式是(a-b)(b-c)(c-a)与一个一次多项式的积。再注意到原式、(a-b)(b-c)(c-a)都是齐次交代式，所以“一次因式”是关于a、b、c的齐次对称多项式：A(a+b+c).

解答：