数数的正确姿势——进制简史

前言

进制也叫做进位制，它不仅仅是一种计算的方式，更是一种世界观的体现。不管是曾统一世界的十进制也好，还是现在锋芒已露的二进制也好，它们都代表了我们看世界的方式。下面来仔细说一说，人类历史上比较重要的几种进位制。

• 数数，是我们小时候的基本技能之一。
• 但是为什么老师出的个位数加减法的题目，我们正好能用手指来完成计算呢？
• 你有没有掰着脚趾来帮助自己计算的经历呢？
• 三体人是用什么进制来计算的？

十进制和五进制

十进制一直以来都是人类使用的最广的一种记数体系。

关于十进制的历史，时间最早的确切记录是在古埃及，时间大概是5000年前左右。中国关于十进制最早的可靠记载，是出现在殷墟中出土的甲骨文上，大约是3000年前左右。

古埃及十进制

甲骨文十进制

实际上，在古代世界独立开发的有文字的记数体系中，除了巴比伦文明楔形数字的60进制和玛雅数字的20进制外（下文会讲到），几乎全部为十进制。

亚里士多德称人类普遍使用十进制，只不过是绝大多数人生来就有10根手指这样一个解剖学事实的结果。

也就是说，人类对于数字有了认识地直接原因是直立行走而解放了我们的双手，从而才有了可以数数的手指。

所以，我们从小就用手指头来帮助计算，其实是一种遗传自远古祖先的本能。

数数

同样的，有十进制，就必然有五进制，就是看在计算时，习惯运用一只手还是两只手。

实际上，如果单纯的按照用双手帮助计算的角度，五进制比十进制更实用。因为在使用五进制时，你的左手数到大于五的时候，你的右手可以伸出一个手指当做一个五，从而双手最多能数到30，只有到30以上时才需要借助其他东西来帮助。而使用十进制时，同样的情况只能数到10。（这一点，纯属脑补）

五进制

而对美洲印第安人的几百个部落所进行的研究也证实了这一点：

将近三分之一的人在使用十进制，另有大约三分之一的人在使用五进制或者五进制和十进制混合使用，剩下的不到三分之一的人在使用二进制，而那些使用三进制的人则不到百分之一。二十进制（以20为基数），出现在大约百分之十的部落中。

因此，我们现在十进制成为主流而不是五进制的原因，是因为当脱离手指，进行记录的时候，十进制对五进制的优势就很明显了。

另外，“eleven”（11）和“twelve”（12）最初的意思应该是“one over”（大于1）和“two over”（大于2），这也表明了十进制在早期的支配地位。

二十进制

二十进制是一种玛雅人创造的独特记数体系。这种体系的根源也无法得知。所以很多学者也按照亚里士多德对十进制论述的逻辑，认为二十进制是以10根手指加10根脚指为基数的记数方法。

不过，对于这种说法，每次想象到玛雅人掰着脚趾头数数或者计算时的画面时，总有一丝亲切感，因为我小时候也这样做过。这也是本能使然！

玛雅二十进制

今天的法语中，vingt是20的意思，而quatre vingt是四个20，意思是80，所以被认为是二十进制的残留。

十二进制

关于十二进制，一般的文明都使用这种进制来作为记时的计量方法。

这或许是由于天体运行周期的原因，比如，一年中月球绕地球转十二圈，还比如将白天夜晚分别划分为12部分。黄道十二宫、十二星座、十二地支、十二生肖、二十四节气、二十四小时都可以算这个体系下的具体应用。

各种十二进制

不过，还是有人喜欢从生物学角度去理解这个问题，认为这和人类一只手有十二节指骨有关（不包括姆指，一根手指有三节指骨）。

六十进制

关于六十进制，也在我之前的文章中提到过。认为六十进制是为了在计算时（特别是涉及到几何计算时）可以轻而易举地细分为二分之一、三分之一、四分之一、六分之一、十分之一、十二分之一、十五分之一、二十分之一和三十分之一，这样就使得十位上能经得住尽可能的细分。

巴比伦六十进制

也有学者认为六十进制是两种更早进位制的自然组合：一种是十进制，另一种是六进制。

让我奇怪的是，这次没有学者把这个进制和手指结合起来想。

不过，结合我前面说五进制时的脑补和十二进制关于手指的使用，我最终发现，六十进制也没有逃脱这个利用手指数数的逻辑框架。

60进制手势

另外，尽管我们的社会形态是以十进制为基础，六十进制在现在依然还存在与时间和角的度量中。

二进制

说到二进制的起源，就不得不说一本伟大的书，和一个伟大的人。这本书就是《易经》，这个人就是莱布尼茨。

关于《易经》，它在我们文化中的地位就像它二进制体系所传达的哲学象征一样——是一切的源头。这个“二进制”并非一种记数体系，虽然它也有“计算”的功能，但只是借由这种“计算”来，通神灵，知祸福。

而现代意义上的二进制，是由莱布尼茨发现的。关于他的这个发现是否是受到《易经》的启发，历来有很多争论。同时，他还设计了一台可以完成数码计算的机器，这是关于计算机的最初设想。

到现在，二进制不仅在基数上同《易经》一样是0和1，并且因为最近流行的“万物皆比特”的概念，使得它在哲学的高度上也和《易经》统一了。

二进制

四进制、八进制、十六进制

八进制和十六进制，最早采用的应该是中国人。“半斤八两”这个说法就是很好的一个佐证。

对于“半斤八两”，有一种解释是：在古代定秤的时候，以天上的星星为准。北斗七星，南斗六星，福禄寿三星，总共十六星。所以，一斤为十六两，半斤既是八两。半斤八两的计算工具就是中国古人用了几千年的算盘。

算盘

对照上图，我们会发现算盘的设计其实是很有蹊跷的。

仔细想想的话，如果算盘是针对十进制而设计的话，那么上挡只需要一珠，下挡四珠，那就足够应付计算了，那古人为什么不将多出的两珠去掉？

然后，你用八进制的角度去看，因为不论上挡或下挡，若每珠代表数1，那么每位的最大计数值是七，七正是八进制的最大基数。

再用十六进制的角度去看，若上挡每颗珠子代表数五，下挡每颗珠子代表数1，那么每位的最大计数值是十五，十五正是十六进制的最大基数。

所以，算盘是用来计算十六进制的，而不是现在的十进制。只不过十进制也能用它来勉强计算而已。现在，“半斤八两”和算盘都已经成为历史概念和物品了。

不过，我依然还会记得小时候用算盘一遍一遍地从1加到100，一直到5050出现在算盘为止。

现代意义上的八进制和十六进制，再加上四进制，这三种进制体系都是和从二进制直接演化过来的。

其中四进制现在已经基本弃用。而八进制和十六进制还广泛地应用在计算机领域，其主要原因是因为它们能够和二进制几乎无缝地兼容。

另外，在印欧语系中，8的单词是源自于4的倍数形式，在拉丁文中，表示9的novem也很有可能是与novus（新的）有关的，意思是一个新序列的开始。这样一些单词也许可以解释为：它们暗示了，四进制和八进制的记数法曾经持续存在过一段时间。

三体人的进制

先说三体人可能的生物特性。

宝树在《三体X》中将三体人描述成“虫子”，他认为交互思维的群体智力和人列计算机的实现都是在影射地球上的社会性昆虫，比如蜜蜂和蚂蚁。

这个想法应该是参照了刘慈欣在早年的一篇文章，其中也提到过关于智能生物自身最优尺度的问题。大刘认为，当我们通过基因工程将人类进化成小白鼠尺度或者更小的时候，我们才有可能发展出一个真正的超级文明来。如果有必要，甚至可以变成细菌的尺度。

进而，虽然大刘在《三体》中没有对三体文明进行过具体描述。但只是单方面的通过人列计算机的这个宏大场景，也可以知道三体人在文明形成之初，在机械时代和电气时代都还未到来之前，就已经参悟了二进制的思想。并且，通过思维的高度一致性，使得人列计算机得以实现。

所以三体人的进制系统，应该就是二进制了，也就是说，二进制可能就是宇宙通用的一种记数体系。

最后我想说：“世界属于三体！”

来源：数学职业家