第10讲:《函数的连续性与间断点》内容小结、课件与典型例题与练习

一、函数连续定义及等价描述

1、函数连续的三个要素

有定义、极限存在、极限值等于函数值.

2、函数连续定义的几种等价描述

 3、函数连续证明思路与方法
(1) 函数连续性的证明一般基于以上极限定义来证明. 证明函数在点x0连续只要能够验证以上等价描述其中一个成立即可.
(2) 增量形式适用于抽象函数连续性的证明和区间上函数连续性的证明. 证明区间内任意一点函数连续,则只要将增量形式中的x0换成x则可以换成任意一点连续性的定义。

(3) 分段函数的分界点,区间端点连续性的证明,分别用左连续与右连续的定义来证明. 即

4、关于函数连续的相关注意事项
(1) 闭区间上的连续函数对于端点处仅仅是左端点右连续,右端点左连续,而不是连续!
(2) 初等函数在定义区间任意一点都连续,从而有函数的极限等于极限的函数. 即
(3) 函数可以仅仅在定义域内一点连续. 比如函数
仅仅在点x=0处连续,在其它点都间断.
(4) 函数也可以在有理点处均不连续,无理点处均连续. 如黎曼函数
在有理点处均不连续,无理点处均连续.

二、间断点及其类型

1、间断存在的情况

只有定义区间的分割点与定义域内(如分段函数的分界点)的点才有可能为间断点. 函数间断点的判定与连续性的三要素对应,满足如下三个之一即为间断点:

(1) 函数在x0处无定义;

(2) 函数在x0处有定义,但x→x0函数极限不存在;

(3) 函数在x0处有定义,x→x0函数极限存在,但极限值不等于函数值.

2、间断点的分类

依据左右极限的存在性,可将间断点分为两个大类,四个小类

第一类间断点:左右极限存在. 当左右极限相等,则为可去间断点;左右极限不等,则为跳跃间断点

第二类间断点:左右极限至少有一个不存在;如果有一个极限趋于无穷大,则为无穷间断点;否则称为振荡间断点

3、函数间断点的判定

(1) 求函数的定义域,找出分割定义域为定义区间的分割点与分段函数的分界点xk

(2) 对xk求函数的左右极限,由左右极限的存在性及相关的极限值与变化趋势,确定间断点及类型。

三、连续函数运算法则与初等函数连续性

● 基本初等函数在定义区间内连续

● 连续函数的四则运算的结果连续
● 连续函数的反函数连续
● 连续函数的复合函数连续

所以初等函数在定义区间内连续. 初等函数在定义域上不一定连续,比如有些函数的定义域为由一些离散点构成的集合,则可能在任意点都不连续.

四、有界闭区间上连续函数的性质

在探索求解问题的过程中,只要看到或者推导出“闭区间上连续函数”这样的描述,应该要在草稿纸上马上写下,或者脑海中马上能够浮出如下结论:

1有界性定理

有界闭区间上连续的函数是有界的.

2最值定理

有界闭区间上连续的函数是能够取到最大值与最小值的;在闭区间上至少存在一点使得函数取到最小值,也至少存在一点使得函数取到最大值

3介值定理(中间值定理)

位于有界闭区间上连续函数最小值与最大值之间的任何值,在闭区间上至少存在一点使得函数值就等于该值

4零值定理(零点定理)如果闭区间两个端点的函数值异号,则在闭区间内至少存在一点使得函数值等于0

【注】注意最值、零值、介值定理不包含端点的描述.

5、均值的有界性

如果,在 上连续,是函数在该区间上的最大值,是函数在该区间上的最小值,则

五、借助零点定理证明中值等式的基本思路

借助零点定理(介值定理)可以证明方程根的存在性,或者函数零点的存在性,常用方法:

1、直接法

先用最值定理,再用介值定理

2、间接法

先作辅助函数F(x),验证F(x)满足零点定理,再由零点定理得出命题的证明. 其一般思路为:

(1) 变换需要验证等式为简单形式;

(2) 将所有项移到等式一侧,一般移到左侧,右侧为0;

(3) 令左侧的中值符号为变量x,则令其为辅助函数F(x);

(4) 针对讨论的闭区间,或者依据已知条件构造合适的闭区间[a,b],在闭区间上探讨F(x)的连续性和F(a)F(b)的符号;

(5) 如果乘积等于0,则中值即为端点值,结论成立;如果乘积小于0,则区间内存在零点,结论成立.

(6) 改写得到的辅助函数零值等式,得到需要验证结论.

其中前三步是关键,合适的辅助函数是成功证明的关键!如果依据构建的辅助函数不成功,则重复以上步骤,重新考虑辅助函数的构建!

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