每日一题369：一般锥面及其方程的构建思路与锥体立而不倒的判定方法
练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习369：设 是曲线 外一个定点，当点 在曲线 上移动时, 直线 扫出的轨迹称为锥面. 称为锥面的顶点，曲线 称为锥面的准线，直线 则称为锥面的母线.
(1) 设锥面顶点为 ，准线为
试建立描述该锥面的方程.
(2) 设 是顶点为 、准线为圆
试写出 的方程;
(3) 设 是(2)中 与平面 所围成的锥体，如果 的密度为常数， 为地平面，那么如此放置的 会不会倾倒? 试说明理由.
【注1】先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！
【注2】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
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练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习369：设 是曲线 外一个定点，当点 在曲线 上移动时, 直线 扫出的轨迹称为锥面. 称为锥面的顶点，曲线 称为锥面的准线，直线 则称为锥面的母线.
(1) 设锥面顶点为 ，准线为
试建立描述该锥面的方程.
(2) 设 是顶点为 、准线为圆
试写出 的方程;
(3) 设 是(2)中 与平面 所围成的锥体，如果 的密度为常数， 为地平面，那么如此放置的 会不会倾倒? 试说明理由.
【参考解答】：(1) 根据构建图形方程的一般思路与步骤，在生成的锥面上任取一点 ，则该点一定位于 点与准线 上一点 的连线上，使得
又由于 在曲线 上，故有
于是由以上四个等式消去 ，则可得一个关于 的方程 ，该方程即为所求锥面的方程.
(2) 由(1)可得
于是可得
代入第二式，得
整理得
(3) 容易绘制出(2)所生成的锥面的大概图形如下：
要锥体不倒，则只要 的重心的 分量构成的坐标 位于其地面上的区域 内即可(即物体的重心和一个物体与地面接触点位于同一条垂直于地面的垂线上，则物体会稳定不倒). 由于密度为常数，设为 ，即质量均匀，分别计算积分
根据区域类型，考虑先二后一的截面法，其中
是圆心为 ，半径为 的圆，且 ，故
另外，令
则 , ，且雅可比行列式为
故换元（或者平移后用二重积分的极坐标方法）得
由质心坐标的计算方法，故得
即底面内，故 不会倾倒.
【注】 对于后面两个积分的换元计算，也可以直接令极坐标变量换元的方法，即令 , ，则
代入后面积分先二后一中二重积分的累次积分表达式得到一致的结果.
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