2021杨浦二模25题解法分析

2021杨浦二模解法分析：杨浦的25题围绕着点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系进行展开，解题的方法也是常规的构造一线三直角模型，渗透了分类讨论思想。对于圆中的位置关系渗透得比较全面，值得推荐。

根据题意分析，由于圆O经过点A，因此AO就是圆O的半径；由于圆O与PQ相切，因此OP⊥PQ，这个推论也是贯穿本题的重要推论。

解法分析：本题的第一问为O在射线AB上的特殊位置。根据OP⊥PQ，以及cot∠BAC的值，可以很容易的求得半径的长度。

解法分析：本题的第二问需要分类讨论，这也是本题的难点。根据O在AP的上方和下方进行具体分类，由ON⊥AP以及OP⊥PQ，则考虑构造一线三直角模型，利用构造的相似三角形中对应线段成比例，求出AP的长度。

解法分析：本题的第三问直角问了“当AP满足何种数量关系时，圆P和圆O有哪些位置关系”。此时又要进行分类讨论，由于圆O经过点P，因此两圆不可能存在外离和外切的两种位置关系，只有内含、内切和相交三种位置关系。对于圆与圆的位置关系，抓住三个量，即圆心距、两圆半径的和、两圆半径的差是问题解决的关键。

特别的，本问容易忽略的点在于圆O和AQ相切的情形，此时限定了x的取值范围，不可漏解，由此确定了两圆不同位置关系时AP的取值范围。

链接：圆与圆的位置关系复习；2021奉贤25题(1)。

2019静安二模25题第三问同样考察了圆与圆的位置关系，解决问题的方法还是一致的，即求出两圆的圆心距及半径和差，再确定范围，除了可以构造X型基本图形外，还可以作平行线构造相似三角形，如下图。