数学进展：认识一下敏感、脆弱的特殊质数
来，看看这几个数字 294001，505447和584141。注意到它们的特别之处了吗？或许心算能力强大的你意识到它们全是质数。
但除此之外，还另有玄机。如果我们改变294001任意 数位 上的数字，它都会变成一个合数——如把个位上的1改成7，得到的数字就可以被7整除；改成9，就可以被3整除。
这样的数字被称为 "数位敏感的质数"，是比较新的数学概念。要注意这里的定义。像13就不是数位敏感的质数，虽然把个位上的3，换成5，可以变成15(合数)；但改成1，变成11，则依然是质数。数位敏感意味着，把任意数位修改成任意合法数字(第一位数字不为0)，结果都是合数，这样才符合数位敏感的定义。
1978年，数学家Murray Klamkin想知道是否存在数位敏感的质数。他的问题很快得到了有史以来最多产的数学家之一 Paul Erdős的回应。他不仅证明了它们确实存在，而且还证明了它们的数量是无限的——结果不仅适用于十进制，而且适用于任何进制系统。此后，其他数学家又扩展了Erdős的结果，包括菲尔兹奖章获得者Terence Tao——他在2011年的一篇论文里证明，数位敏感质数在质数中分布稳定。
现在，南卡罗来纳大学的Michael Filaseta连发两篇论文，将上面的定义进一步扩大，提出了一类更加稀少的数位敏感质数。
在Erdős和Tao的工作的激励下，Filaseta想知道如果把质数的前面加一串无限的前导零，会发生什么。毕竟，数字53和...0000000053具有相同的值；如果一个质数前面的无限的0，被随意地修改，是否可能使质数变成合数？
Filaseta决定把这样的数字(假设它们存在)定义为"广义数位敏感"，他在2020年11月与他的前研究生Jeremia Southhwick合写的论文里讨论了它们的特性。
不足为奇的是，附加条件使得这类数字更难被找到。"294001是数位敏感的，但不是广义敏感的。"Pollack说，"因为如果我们把......000294001改为......010294001，我们就会得到10294001——另一个质数。”
事实上，尽管Filaseta和Southwick进行了大量的搜索，也没能在十进制中找到一个广义敏感质数的例子。但这并不妨碍他们推导出这类假定存在的数字所应具有的特征。
首先，他们证明了这样的数字在十进制中确实是存在的，而且，数量是无限的。更进一步，他们还证明了广义敏感质数也是在质数中分布稳定的。
证明依赖于两个工具。第一个叫做覆盖系统或覆盖同余，由Erdős在1950年发明，用来解决数论中一个原不相干的问题。
"覆盖系统，就是给你一大堆桶，同时保证每个正整数至少在其中一个桶里。"最简单的，根据除以2得到的余数——1或0——我们能把全部自然数装到两个桶里。
当然，数位敏感质数的情况就比较复杂了。我们需要更多的数桶，大约是1025000个。
第二个工具叫筛子。筛法可以追溯到古希腊，陈景润用来证明哥德巴赫猜想“1+2”所用到的工具，就是他升级过的筛法。
"Filaseta-Southwick定理，"Pollack说，"是覆盖同余技术上一个美丽而意外的收获。"
然后，在1月份的一篇论文中，Filaseta和他现在的研究生Jacob Juillerat提出了一个更加惊人的定理：存在任意长的连续质数序列，序列每一项都是广义数位敏感的。
Filaseta和Juillerat分两个阶段证明了他们的定理。首先，他们用覆盖系统论证了有一个包含无限多质数的桶，所有这些质数都是广义敏感的。
第二步，他们应用了Daniel Shiu在2000年证明的一个定理，证明这个桶中包含任意数量的连续质数。这些连续的质数，由于在这个桶中，必然存在广义敏感的情况。
达特茅斯学院的Carl Pomerance非常喜欢这些论文，他称Filaseta是"将覆盖式同余应用于许多有趣的数论问题的大师。数学可以是把理论打磨到极致的艺术，也可以是纯粹的娱乐"。