第35讲 典型例题与练习参考解答：可分离变量微分方程与齐次方程求解
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第35讲：可分离变量的微分方程与齐次方程求解
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例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：求下列微分方程的通解.
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
(9) ；
(10) ；
(11) .
练习2：求解如下初值问题：
(1)
(2)
练习3：设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时( ) 速度为，求降落伞下落速度与时间的函数关系.
练习4：设有连结点和的一段向上凸的曲线弧 ，对于上任一点，曲线弧与直线段所围图形的面积为，求曲线弧的方程.
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：求下列微分方程的通解.
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
(9) ；
(10) ；
(11) .
【参考解答】：(1) 直接分离变量积分
积分得. 记 ，整理得
其中为任意常数.
【注】方程改写丢失解，但最终解包含了. 在微分求解过程中每一步不一定是同解变形，因此可能增、减解的情况. 不过求通解的话仅仅只需要得到一个满足通解定义的解即可.
(2) 直接改写微分方程为
该方程为可分离变量的微分方程，两端积分得
整理得
其中为任意常数.
(3)【思路一】 直接分离变量，积分
得通解为，即
【思路二】 令，则，代入原方程，得
改写左侧被积函数，分子加减后，积分得
回代，即得所求通解为
其中为任意常数.
(4) 由三角函数恒等式变换公式，有
展开整理得
分离变量并两端积分
其中左端的积分为
代入原积分等式，得
其中为任意常数.
(5) 令，则，故原方程改写为
分离变量并积分
得. 回代，得原方程通解为
其中为任意常数.
(6) 原方程整理改写，得
故方程为齐次方程. 令，则原方程改写为
移项并分离变量后积分
得，回代，得
整理得，或
(7) 方程可以改写为
故方程为齐次方程. 令，则原方程改写为
分离变量得
左端分解为部分分式后，两端积分得
整理得
并回代，有
其中为任意常数.
【注】显然也是原方程的解，但在求解过程中丢失了！
(8) 令，代入得
即，分离变量，积分
积分得通解为
回代 ，得
整理得
(9) 令, ，则原方程可化为
令分子分母的常值项为0，求解方程组
解得 ．因此，作坐标平移
得齐次方程
令，则
分离变量得
两边积分得
即．回代，得
再回代, 得到原方程的通解为
(10) 令, ，则原方程成为
令常值项为0并解方程组
解得. 故原方程变换为
令，则方程变换为
分离变量积分，得
两端计算积分，得通解为
即，将
代入上式，得原方程的通解
(11) 【思路一】 改写微分方程，得
令，得
移项整理得
分离变量得
两端积分得
回代，得
【思路二】 把视为函数， 视为自变量，则
令，得
分离变量积分
两端积分得
即. 回代，整理得
练习2：求解如下初值问题：
(1)
(2)
【参考解答】：(1) 微分方程可分离变量的微分方程，分离变量得
两端积分得
整理得
代入初值条件，得 . 故特解为
(2) 令, ，解方程组
得. 原方程变换为
令，得
两端积分得
代入初值条件，得. 故所求特解为
练习3：设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时( ) 速度为，求降落伞下落速度与时间的函数关系.
【参考解答】：根据牛顿第二定律，可得初值问题
微分方程为可分离变量的微分方程，分离变量积分
要降落伞下落，必有，故解得通解为
代入初值条件，得. 整理得特解为
练习4：设有连结点和的一段向上凸的曲线弧 ，对于上任一点，曲线弧与直线段所围图形的面积为，求曲线弧的方程.
【参考解答】：设曲线弧的方程为 依题意，有
上式两端对求导，
即得微分方程
令，则微分方程成为
积分得
回代得
又因曲线过点，故. 于是得曲线弧的方程