#S013 | 传说中的“必胜”公式

文/辰哥

之前给大家讲过赔率和概率相关的理念，那么自然就会有人想到如何能够将其量化出来，在什么情况下用什么策略或者说仓位能够达到最优效果，使之成为一套“必胜”之法呢？

在回答这个之前可以先想想下面这个问题：

图片中有abc三条路线，大家都从顶点出发没有任何外力情况下，哪一条路线小球会最先到达右下角的终点？

相信很多人都知道了，a路线代表的是两点之间线段最短，c路线代表的是最长也是最容易实现的距离，这都不会是最先到达终点的路线，只有b路线才是最优解。

因为它充分利用了重力势能加速度，从而平衡了速度和距离的矛盾，使小球最快速地抵达终点。

因此，类比所有的“赌博类”游戏中我们可以得出一个结论：

所谓的最优解，往往都是赔率和概率的平衡。

第一位将这套理论完全量化出来的，就是大名鼎鼎的“凯利公式”。

凯利的全名叫约翰·拉里·凯利，二战的时候在美国海军当飞行员，战后在得克萨斯大学读了本科和研究生，1953年博士毕业，最后跌跌撞撞加入了贝尔实验室。

在实验室里凯利被认为是当时整个贝尔实验室里第二聪明的人，因为第一聪明的是香农——开创了信息论的教父级人物。

凯利公式也是他玩出来的一个意外。当时凯利正在研究电视信号的压缩方法，结果却研究起了赌博来，源头是一档电视答题节目的热播，名叫《64000美元的问题》，节目本身和赌博其实不太相关，最多算是博弈，但由于节目过太过火爆，有人就开设了赌局，赌的是哪个选手能够最终获胜。

凯利经过一番研究就针对这种简单的赌局推算出了一种利润最大化的“必胜”公式。

它的表达式非常简洁，只用小学数学就能看懂：

f=（bp-q）/b。

一般来讲f代表的是最佳下注比例，b代表的是赔率，就是当你赢了的时候，能赚回多少钱，而p和q呢，分别对应着成功的概率和失败的概率。

举个抛硬币的例子：

两个人玩猜正反，你猜之前先给我一笔钱，如果抛出来后的结果证明你错了，那这笔钱就归我；而如果你猜对了，我就把你之前给我的那笔钱全额退还，同时再多给你两倍，也就是说，赔率定到一赔二。

因为抛硬币正反面出现的概率是50%：50%，但你参与的赔率是1∶2，所以显然游戏规则是有利于你的。虽然规则对你有利，但你也不能一把all in，这里面存在本金全部亏损的可能。

这个时候，凯利公式就要派上用场了。

硬币抛出来只有正反两面，猜对猜错一半对一半，这里成功概率是50%，也就是凯利公式中那个字母p=50%，而失败概率q，正好等于1-p，这里同样也是50%，而这里的赔率b=2，也就是当你对了，能多赚两倍的本金。

接下来就可以代入计算，这里b*p=2*50%=1，再减去q（50%）。而这个结果呢，要再除以赔率b，也就是50%/2=25%，这就是我们要求的那个f，也是玩这个游戏，每一次应该投入的资金比例。

也就是说，每次下注只出你当前拥有资金的25%，就能够最大化你的收益。

虽然在在玩的过程中随着运气等因素你盈亏会上下波动，不过只要在成功率和赔率不变的情况下，每次都下注当前资金的25%，长期来看你的收益会最大化，获胜只是时间的问题。

凯利公式还有两个隐藏的推论，第一个是只有胜率100%的赌局才值得all in，否则不存在必胜；第二个是只有赌局的期望收益率为正数才能使用凯利公式，否则是不值得投资的更别提必胜。

做数学上正期望的事儿，巴菲特就一直坚持这种理念，他曾经说过：

'用亏损概率乘以可能亏损的数量，再用收益概率乘以可能收益的数量，最后用后者减去前者，这就是我们一直试图做的方法'。

在计算中你会发现凯利公式虽然看起来是有fbpq四个字母比较复杂，但其中的f只是一个符号，代表我们最后需要计算的那个结果，而p是成功概率，q是失败概率，一般来讲它俩加起来正好等于1，知道了一个另一个相当于也告诉你了。

所以真正的未知量只有两个，一个是赔率，另一个就是成功或者失败的概率。

凯利公式还有个稍微复杂一点点的变体是下面这个：

f=(p*rW-q*rL)/（rLrW）

与上面一样，f为最优下注比例，p为赢的概率，反之1-p是输的概率，rW是赢时净收益率，rL是亏损时净损失率。

你会发现相比于最开始第一个的简单公式f=（bp-q）/b，不过是第二个公式里rL（净损失率）=100%的情形，即输的情况下本金全部亏光。

在实际投资中，如果不是本金全部损失的模型比如股票中，后面那个稍显复杂公式更为实用。

我们随便举点例子定量算算赔率和概率里面的秘密。

1）若rW赚时赚1倍、rL亏时亏1倍不变（rL=100%第一个和第二个公式结果一致）∶

当赚的概率P=50%，则f=0.5/1-（1-0.5）/1=0，结论是没法玩;

当赚的概率P=80%，则f=0.8/1-（1-0.8）/1=0.6，结论是60%仓位。

2）若rL亏时亏1倍、赚的概率P=60%不变（rL=100%第一个和第二个公式结果一致）∶

当rW赚时赚2倍，则f=0.6/1-0.4/2=0.4，结论是40%仓位;

当rW赚时赚4倍，则f=0.6/1-0.4/4=0.5，结论是50%仓位。

3）若适当改一下赚钱的净收益率以及亏钱的净损失率时（rL≠100%只能用第二个公式）∶

p=80%，rW=30%，rL=10%，得出f=7.3，相当于可以加7.3倍杠杆（730%仓位）;

p=60%，rW=20%，rL=10%，得出f=4，相当于可以加4倍杠杆（400%仓位）;

p=60%，rW=10%，rL=10%，得出f=2，相当于2倍杠杆（200%仓位）;

p=60%，rW=100%，rL=100%，得出f=0.2，相当于用20%仓位。

看到这大致有个结论∶

只要当次交易大概率是赚钱．如果单次赔率对本金伤害低（比如亏损净损失率只有10%），那么就适合加杠杆；而如果单次赔率对本金伤害高（如盈亏100%，对了翻倍错了输光），则适合降低仓位根据计算的结果稳健行事。

一般来讲，高赚钱概率p要比高赔率b更加重要。

这样整个过程，都是基于理性计算后的考量，排除掉运气的干扰，拉长时间看，你的投资成功将会成为理所应当的事儿。

在确定性足够强的游戏中比如绝大部分的赌桌或者扑克游戏，成功率和赔率都是比较好计算的，但是如果放在类似于股票这类不会完全输光本金但在人性博弈中充满不确定性的投资中很多东西都无法完全定量的，只能根据不同的环境适时调整取一个大致的数值。

即使如此，凯利公式作为能够将原本定性的事物定量化在我们实际操作中也具有足够大的参考意义。

正应了前文所说的那句话：

所谓“必胜”法门，往往都是赔率和概率之间的平衡。

（PS：绝大部分的事物不仅仅是感性在主导，能够定量理性分析往往才能获得最大成功可能。这是我们“道体术”系统法则术类第十三篇文章，喜欢的童鞋点个“星标”和“在看”支持一下吧，最后祝大家情人节快乐。）