八上第12讲 期中专题二 考前冲刺易错题
1、直角三角形各重要边长辨析题组
1)直角三角形两边长为3，4，求斜边长______
2)直角三角形两边长为3，4，求第三边长的平方______
3)直角三角形两边长为3，4，求斜边上的中线长______
4)直角三角形两直角边长为3，4，求斜边上的高长______
分析：
如果看到题目中说的是直角三角形“两边长”就要注意了，其中给出的较长的边，既可能作直角边，也可能做斜边，很多时候就会有两解．
解答：
1) 4或5
2) 4²－3²＝7，4²＋3²＝25，7或25
3) 2或2.5
(直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，斜边可以为4，也可以为5)
4) 2.4
(利用面积法，直角边×直角边＝斜边×斜边上的高)
2、三角形内外心辨析
1)到三角形三个顶点距离相等的点是( ) ，到三角形三边距离相等的点是( )
A．三条角平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条高的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
分析与解答：
到三个顶点距离相等，即到各边的两个端点距离相等，想到中垂线．
到三边距离相等，即到每个内角的两边距离相等，想到角平分线．
选D，A
补充：
三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，外接圆的圆心．
三条角平分线的交点是三角形的内心，内切圆的圆心．
2)若点O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，∠A＝70°，则∠BOC的度数为______．
分析与解答：
点O为角平分线交点，利用结论，“三角形两内角平分线夹角等于90度加第三角的一半”，则∠BOC＝90°＋35°＝125°
3、手拉手模型再过关
1)如图所示，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连接AD、CE，若∠BCE＝39°，
那么∠CAD＝______°．
分析与解答：
手拉手模型需满足等线段，共顶点.
这里的△ABC和△DBE是共顶点A的双等边三角形，
则不难得到△EBC≌△DBA，
∠BCE＝BAD＝39°，
∠CAD＝60°－∠BAD＝21°
2）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝_____°
分析与解答：
不难得到这是共顶点A的双等腰三角形，
△ABD≌△ACE，
∠ABD＝∠2＝30°，
∠3＝∠1＋∠ABD＝55°
4、斜边中线相关题型反复练
1)陆老师布置了一道题目：过直线l外一点A作l的垂线．（用尺规作图）
小淇同学作法如下：
（1）在直线l上任意取一点C，连接AC；
（2）作AC的中点O；
（3）以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B；
（4）作直线AB．
则直线AB就是所要作图形．
你认为小淇的作法正确吗？如不正确，请画出一个反例；如正确，请给出证明．
分析：
本题只需证明∠ABC＝90°，由作圆可得OA＝OB＝OC，因此，转化为证“一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条中线的一半，那么这个三角形是直角三角形”．
解答：
在△ABC中，
∵OA＝OB，∴∠1＝∠2，
∵OB＝OC，∴∠3＝∠4，
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∴∠2＋∠4＝90°，AB⊥BC
2) 变式（原创题）：如图，直角△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，若在直线AC上有点P满足AP＝BP，有点D满足AB⊥BD
（1）求AP的长，AD的长．
（2）不通过计算，证明AD＝2AP
分析：
1）显然，求AP长，即为求BP长，放在Rt△BPC中，用勾股定理建立方程．要求AD长，只能放在Rt△ABD中，设为未知数后，可表示BD边的平方，在Rt△BCD中，同样也可表示BD边的平方，用勾股定理建立方程．
2）即证AP＝PD＝PB，最终只需证BP＝PD．
解答：
解答：
2）
∵AP＝BP，∴∠1＝∠2，
∵∠1＋∠3＝90°，
∠2＋∠PBD＝90°，
∴∠3＝∠PBD，PB＝PD，
∴AP＝PD，AD＝2AP．
3)变式：如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，EF∥ BC，CM＝5，求EF的长．
分析：
先根据“邻补角的角平分线互相垂直”，证明∠ECF＝90°，再根据基本模型“平行线＋角平分线，构造 等腰三角形”，证明EM＝MC＝MF，则EF可求．
解答：
∵CE平分∠ACB，∴∠1＝∠2
∵CF平分∠ACD，∴∠3＝∠4
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°
∴∠ECF＝∠2＋∠3＝90°
∵EF∥ BC
∴∠1＝∠5，∠4＝∠6
∴∠5＝∠2，EM＝MC
∠6＝∠3，FM＝MC
∴EF＝2MC＝10
5、典型易错多解题大网罗
1)如图，∠C＝∠CAM＝90°，AC＝8，BC＝3， P、Q两点分别在线段AC和射线AM上运动，且PQ＝AB．当AP＝_____ 时，△ABC与△PQA全等．
分析与解答：
由于没有出现全等符号，因此需要分类讨论，这里已经有∠BCA＝∠PAQ＝90°，则点C与点A对应，只可能是△BCA≌△PAQ，则PA＝BC＝3，或者△BCA≌△QAP，则PA＝AC＝8，综上，AP＝3或8
2)已知等腰△ABC周长为8，AB＝3，求BC＝_______．
分析与解答：
这里要对AB的位置进行讨论，可以为底边，也可以为腰，BC亦然．
综上，BC＝2或3或2.5
3)△ABC中，AB＝17，AC＝10，AD⊥BC，AD＝8，求BC的长．
分析：
因为△ABC的各边中，BC边的长度未知，因此三角形的形状不能确定，而AD作为高，可能在形内，可能在形外，因此需分类讨论．
我们可以先求出BD，再求BC．
解答：
如图，
在Rt△ABD中，AB＝17，AD＝8，∴BD＝15
在Rt△ACD中，AC＝10，AD＝8，∴CD＝6
若AD在形内，BC2＝BD＋C2D＝15＋6＝21
若AD在形外，BC1＝BD－C1D＝15－6＝9
附：八年级上册，期中考试前所有内容：
八上第一讲 全等证明格式易错分析（附“捆绑旋转”秒杀一类全等填空题）
END
如
何
关
注