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第1讲 函数的图象与性质
[考情分析] 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等，主要考查求函数的定义域、分段函数的函数值的求解或分段函数中参数的求解及函数图象的识别．难度属中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题．
考点一 函数的概念与表示
核心提炼
1．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．
2．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
例1 (1)若函数f(x)＝log2(x－1)＋2－x，则函数f \a\vs4\al\co1(\f(x2))的定义域为( )
A．(1,2] B．(2,4] C．[1,2) D．[2,4)
答案 B
解析 由2－x≥0，x－1>0，)得1<< span="">x≤2，故f(x)的定义域为(1,2]，由1<x2< span="">≤2，得2<< span="">x≤4，故f \a\vs4\al\co1(\f(x2))的定义域为(2,4]．</x2<>
(2)设函数f(x)＝2x＋1，x≤0，4x，x>0，)则满足f(x)＋f(x－1)≥2的x的取值范围是________．
答案 \f(12)，＋∞)
解析 ∵函数f(x)＝2x＋1，x≤0，4x，x>0，)
∴当x≤0时，x－1≤－1，f(x)＋f(x－1)＝2x＋1＋2(x－1)＋1＝4x≥2，无解；
当x>0，x－1≤0，)即0<< span="">x≤1时，
f(x)＋f(x－1)＝4x＋2(x－1)＋1＝4x＋2x－1≥2，得12≤x≤1；
当x－1>0，即x>1时，f(x)＋f(x－1)＝4x＋4x－1≥2，得x>1.
综上，x的取值范围是\f(12)，＋∞).
规律方法 (1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．
(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．
跟踪演练1 (1)已知函数f(x＋1)的定义域为(－2,0)，则f(2x－1)的定义域为( )
A．(－1,0) B.\a\vs4\al\co1(－\f(112)
C．(0,1) D.\a\vs4\al\co1(－\f(12)，0)
答案 C
解析 ∵函数f(x＋1)的定义域为(－2,0)，
即－2<< span="">x<0，< span="">
∴－1<< span="">x＋1<1，则< span="">f(x)的定义域为(－1,1)，
由－1<2< span="">x－1<1，得0<< span="">x<1.< span="">
∴f(2x－1)的定义域为(0,1)．
(2)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x<1，－x－2a，x≥1，)若< span="">f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
答案 －34
解析 当a>0时，1－a<1,1＋< span="">a>1，∴2(1－a)＋a＝－1－a－2a，解得a＝－32(舍去)；当a<0时，1－< span="">a>1,1＋a<1，< span="">∴－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－34.综上，a的值为－34.
考点二 函数的性质
核心提炼
1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．
2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．
3．函数图象的对称中心或对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．
考向1 单调性与奇偶性
例2 (1)(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
答案 D
解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，
得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，
得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
(2)设函数f(x)＝\rc\2)－πx)x2＋e2的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 021的值为________．
答案 1
解析 由已知x∈R，f(x)＝\rc\2)－πx)x2＋e2
＝sin πx＋x2＋e2＋2exx2＋e2＝sin πx＋2exx2＋e2＋1，
令g(x)＝sin πx＋2exx2＋e2，易知g(x)为奇函数，
由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，
M＋N＝f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，(M＋N－1)2 021＝1.
考向2 奇偶性与周期性
例3 (1)定义在R上的奇函数f(x)满足f \a\vs4\al\co1(x＋\f(32))＝f(x)，当x∈\a\vs4\al\co1(0，\f(12))时，f(x)＝
，则f(x)在区间\a\vs4\al\co1(1，\f(32))内是( )
A．减函数且f(x)>0 B．减函数且f(x)<0< span="">
C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0< span="">
答案 D
解析 当x∈\a\vs4\al\co1(0，\f(12))时，由f(x)＝
可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间－\f(12)，0)上函数也单调递增，且f(x)<0.由< span="">f \a\vs4\al\co1(x＋\f(32))＝f(x)知，函数的周期为32，所以在区间\a\vs4\al\co1(1，\f(32))上，函数单调递增且f(x)<0.故选d.< span="">
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足：函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(2 020)＋f(－2 021)＝________.
答案 1－e
解析 因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以y＝f(x)的图象关于原点对称，
又定义域为R，所以函数y＝f(x)是奇函数，
因为x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)，
所以x≥0时，f(x)是周期为2的周期函数．
所以f(2 020)＋f(－2 021)＝f(0)－f(2 021)
＝f(0)－f(1)＝(e0－1)－(e1－1)＝1－e.
二级结论 (1)若函数f(x)为偶函数，且f(a＋x)＝f(a－x)，则2a是函数f(x)的一个周期．
(2)若函数f(x)为奇函数，且f(a＋x)＝f(a－x)，则4a是函数f(x)的一个周期．
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，且f(b＋x)＝f(b－x)，则2(b－a)是函数f(x)的一个周期．
跟踪演练2 (1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于( )
A．－50 B．0 C．2 D．50
答案 C
解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
(2)已知对任意实数x，函数f(x)都满足f(－x)＝f(x)，且当x≥0时，f(x)＝ex－sin x，若实数a满足f(log2a)<< span="">f(1)，则a的取值范围是________．
答案 \a\vs4\al\co1(\f(12)，2)
解析 由题意得，当x≥0时，f′(x)＝ex－cos x，
因为x≥0，所以ex≥e0＝1，
又cos x≤1，所以ex－cos x≥0，
所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
因为f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，
所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减．
因为f(log2a)<< span="">f(1)，所以|log2a|<1，< span="">
所以－1<log< span="">2a<1，所以12<< span="">a<2.< span=""></log<>
考点三 函数的图象
核心提炼
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
考向1 函数图象的识别
例4 (1)(2020·桂林模拟)函数f(x)＝x·ln |x|的图象可能是( )
答案 D
解析 函数f(x)＝x·ln |x|是奇函数，排除选项A，C；当x＝1e时，y＝－1e，对应点在x轴下方，排除B.
(2)已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是( )
A．f(x)＝1－ex1＋ex·sin x B．f(x)＝ex－1ex＋1·sin x
C．f(x)＝1－ex1＋ex·cos x D．f(x)＝ex－1ex＋1·cos x
答案 B
解析 根据题意，由图象可得，该函数为偶函数，且在y轴右侧，先为正值，然后为负值．C，D选项中的函数均为奇函数，不符合题意；对于A选项，f(x)为偶函数，当x∈(0，π)时，sin x>0，1－ex1＋ex<0，则< span="">f(x)<0，不符合题意；对于b选项，< span="">f(x)为偶函数，当x∈(0，π)时，sin x>0，ex－1ex＋1>0，则f(x)>0，符合题意．
考向2 函数图象的变换及应用
例5 (1)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
答案 C
解析 要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．
(2)已知函数f(x)＝2x－1，x≤0，－x2－3x，x>0，)若不等式|f(x)|≥mx－2恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．[3－22，3＋22] B．[0,3－22]
C．(3－22，3＋22) D．[0,3＋22]
答案 D
解析 由函数的解析式易知f(x)≤0恒成立，则|f(x)|＝－2x＋1，x≤0，x2＋3x，x>0，)不等式|f(x)|≥mx－2恒成立，等价于函数y＝|f(x)|的图象在函数y＝mx－2图象的上方恒成立．
作出函数y＝|f(x)|的图象，如图所示，函数y＝mx－2的图象是过定点(0，－2)的直线，由图可知，当m<0时，不满足题意；当< span="">m＝0时，满足题意；当m>0时，考虑直线y＝mx－2与曲线y＝x2＋3x(x>0)相切的情况．
由y＝mx－2，y＝x2＋3x，)得x2＋(3－m)x＋2＝0，
令Δ＝(3－m)2－8＝m2－6m＋1＝0，
解得m＝3＋22或m＝3－22，
结合图形可知0<< span="">m≤3＋22.
综上，m的取值范围是[0,3＋22]．
规律方法 (1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特征点排除不符合要求的图象．
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图象，再观察．
跟踪演练3 (1)(2020·天津市大港第一中学模拟)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是( )
答案 D
解析 令f(x)＝2|x|sin 2x，
因为x∈R，f(－x)＝2|－x|sin 2(－x)＝－2|x|sin 2x＝－f(x)，
所以f(x)＝2|x|sin 2x为奇函数，排除选项A，B；
因为当x∈\a\vs4\al\co1(\f(π2)，π)时，f(x)<0，所以排除选项c.< span="">
(2)已知函数f(x)＝x2－x，x≤0，lnx＋1，x>0，)若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，则实数a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．[－3,0]
C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．(－∞，－3]∪(0，＋∞)
答案 D
解析 根据题意，函数f(x)＝x2－x，x≤0，lnx＋1，x>0)的图象如图，
直线y＝ax－1恒过定点(0，－1)，若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，
则函数f(x)的图象在直线y＝ax－1下方有图象或与直线有交点，
当a＝0时，f(x)的图象恒在y＝ax－1图象的上方，不符合题意；
当a>0时，直线y＝ax－1经过第一、三、四象限，与函数f(x)的图象必有交点，符合题意；
当a<0时，直线< span="">y＝ax－1经过第二、三、四象限，若直线y＝ax－1与f(x)有交点，必然相交于第二象限．
由y＝x2－x，y＝ax－1，)
即ax－1＝x2－x，变形可得x2－(a＋1)x＋1＝0，
令Δ＝0，解得a＝－3或1(舍)，则有a≤－3，
综上可得，a的取值范围为(－∞，－3]∪(0，＋∞)．
专题强化练
一、选择题
1．函数y＝－x2＋2x＋3)lgx＋1的定义域为( )
A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3]
C．[－1,3] D．[－1,0)∪(0,3]
答案 B
解析 由已知得－x2＋2x＋3≥0，x＋1>0，x＋1≠1，
解得x∈(－1,0)∪(0,3]．
2．若f(x)＝2x－3，x>0，gx，x<0)是奇函数，则< span="">f(g(－2))的值为( )
A.52 B．－52 C．1 D．－1
答案 C
解析 ∵f(x)＝2x－3，x>0，gx，x<0)是奇函数，< span="">
∴当x<0时，< span="">g(x)＝－12x＋3，
∴g(－2)＝－12－2＋3＝－1，
f(g(－2))＝f(－1)＝g(－1)＝－12－1＋3＝1.
3．(2020·全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在\a\vs4\al\co1(\f(12)，＋∞)单调递增
B．是奇函数，且在\a\vs4\al\co1(－\f(112)单调递减
C．是偶函数，且在\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(12))单调递增
D．是奇函数，且在\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(12))单调递减
答案 D
解析 f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠±\f(12)))).
又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|
＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故排除A，C.
当x∈\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(12))时，
f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln －2x－11－2x
＝ln 2x＋12x－1＝ln\a\vs4\al\co1(1＋\f(22x－1))，
∵y＝1＋22x－1在\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(12))上单调递减，
∴由复合函数的单调性可得f(x)在\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(12))上单调递减．
4．设函数f(x)＝4x23|x|，则函数f(x)的图象大致为( )
答案 A
解析 观察函数解析式发现，x是以平方、绝对值的形式出现的，所以f(x)为偶函数，排除B.当x>0时，f(x)＝4x23x，当x→＋∞时，f(x)→0，排除C.因为f(2)＝4×2232＝169<2，选项d中< span="">f(2)>2，所以D不符合题意．
5．若函数f(x)＝2x＋1，x≥1，－x2＋ax＋1，x<1)在< span="">R上是增函数，则a的取值范围为( )
A．[2,3] B．[2，＋∞) C．[1,3] D．[1，＋∞)
答案 A
解析 由题意得\f(a2－1＋a＋1≤2＋1，
∴a∈[2,3]．
6．若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则( )
A．f(2)>f(3) B．f(2)>f(5)
C．f(3)>f(5) D．f(3)>f(6)
答案 D
解析 ∵函数y＝f(x＋4)为偶函数，
∴f(－x＋4)＝f(x＋4)，
∴函数y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，
∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5)．
又∵函数y＝f(x)在(4，＋∞)上为减函数，
∴f(5)>f(6)，∴f(3)>f(6)．
7．设函数f(x)＝2|x－a|，x≤1，x＋1，x>1，)若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,2) B．[－1,0]
C．[1,2] D．[1，＋∞)
答案 C
解析 f(x)＝2|x－a|，x≤1，x＋1，x>1，)
若x>1，则f(x)＝x＋1>2，
易知f(x)＝2|x－a|在(a，＋∞)上单调递增，在(－∞，a)上单调递减．
若a<1，则< span="">f(x)在x＝a处取得最小值，不符合题意；
若a≥1，则要使f(x)在x＝1处取得最小值，只需2a－1≤2，解得a≤2，∴1≤a≤2，
综上所述，a的取值范围是[1,2]．
8．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝1mxi等于( )
A．0 B．m C．2m D．4m
答案 B
解析 由题意可知f(x)的图象关于直线x＝1对称，而y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象也关于直线x＝1对称，所以两个图象的交点关于直线x＝1对称，且每对关于直线x＝1对称的交点的横坐标之和为2，所以i＝1mxi＝m.
9．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(－∞，0)上是减函数，f(2)＝0，g(x)＝f(x＋2)，则不等式xg(x)≤0的解集是( )
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
B．[－4，－2]∪[0，＋∞)
C．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)
D．(－∞，－4]∪[0，＋∞)
答案 C
解析 由题意，可知g(x)的图象是把f(x)的图象向左平移2个单位长度得到的，则g(x)的大致图象如图所示，
则xg(x)≤0⇔x≥0，gx≤0)或x≤0，gx≥0，)数形结合，
得xg(x)≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)．
10．定义新运算：当a≥b时，ab＝a；当a<< span="">b时，ab＝b2.则函数f(x)＝(1x)x－(2x)，x∈[－2,2]的最大值为( )
A．－1 B．1 C．6 D．12
答案 C
解析 当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；
当1<< span="">x≤2时，f(x)＝x3－2.
又∵y＝x－2，y＝x3－2在R上都为增函数，且f(x)在x＝1处连续，
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
11．(2020·贵阳模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－3，－2]时，f(x)＝－x－2，则( )
A．f \a\vs4\al\co1(sin \f(π6))>f \a\vs4\al\co1(cos \f(π6)) B．f(sin 3)<< span="">f(cos 3)
C．f \a\vs4\al\co1(sin \f(4π3))<< span="">f \a\vs4\al\co1(cos \f(4π3)) D．f(2 020)>f(2 019)
答案 B
解析 由f(x＋2)＝f(x)，得f(x)是周期函数且周期为2，根据f(x)在x∈[－3，－2]的图象和f(x)是偶函数可得f(x)在[0,1]上是增函数．
对于A,0<sin π6<cos π6<1，< span="">
∴f \a\vs4\al\co1(sin \f(π6))<< span="">f \a\vs4\al\co1(cos \f(π6))， A错误；
对于B,0<sin 3<－cos 3<1，< span="">
∴f(sin 3)<< span="">f(－cos 3)＝f(cos 3)，B正确；
对于C,0<－cos 4π3<－sin 4π3<1，< span="">
∴f \a\vs4\al\co1(cos \f(4π3))<< span="">f \a\vs4\al\co1(sin \f(4π3))，C错误；
对于D，f(2 020)＝f(0)<< span="">f(2 019)＝f(1)，D错误．
12．(2020·雅安诊断)若函数f(x)＝\b\lc\(\rc\2xxln x－a，x>0恰有三个零点，则a的取值范围是( )
A.\a\vs4\al\co1(－\f(1e)，0) B.\a\vs4\al\co1(0，\f(1e))
C.\a\vs4\al\co1(\f(1e)，＋∞) D.\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1e))
答案 A
解析 当x<0时，令< span="">f(x)＝0可得\a\vs4\al\co1(\f(12))x＝－2x，
由y＝\a\vs4\al\co1(\f(12))x与y＝－2x的图象(图略)可得当x<0时只有一个交点，< span="">
即当x<0时函数< span="">f(x)只有一个零点，
所以当x>0时函数f(x)有两个零点，
即a＝xln x在(0，＋∞)上有两个解，
设g(x)＝xln x，则g′(x)＝ln x＋1，
所以当x∈\a\vs4\al\co1(0，\f(1e))时，g′(x)<0；< span="">
当x∈\a\vs4\al\co1(\f(1e)，＋∞)时，g′(x)>0，
所以函数g(x)＝xln x在\a\vs4\al\co1(0，\f(1e))上单调递减，
在\a\vs4\al\co1(\f(1e)，＋∞)上单调递增，
又当x∈(0,1)时，函数g(x)＝xln x<0，< span="">
当x∈(1，＋∞)时，函数g(x)＝xln x>0，
且g\a\vs4\al\co1(\f(1e))＝－1e，
所以当a∈\a\vs4\al\co1(－\f(1e)，0)时，
a＝xln x在x∈(0，＋∞)上有两个解，
故a的取值范围是\a\vs4\al\co1(－\f(1e)，0).
二、填空题
13．(2020·江苏)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝
，则f(－8)的值是________．
答案 －4
14．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－1fx，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋1，则f(2 020)＋f(2 021)的值为________．
答案 145
解析 ∵f(x＋2)＝－1fx，
∴f(x＋4)＝－1fx＋2＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为T＝4.
又当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋1，
∴f(1)＝3，f(2)＝5，f(4)＝－1f2＝－15，
∴f(2 020)＋f(2 021)＝f(4)＋f(1)＝－15＋3＝145.
15．(2020·北京理工大附中模拟)已知f(x)＝3x＋a，x≥0，x2－ax，x<0，)若< span="">f(x)的最小值为a，则实数a＝______.
答案 －4
解析 当x≥0时，f(x)＝a＋3x≥a＋1，即当x＝0时，f(x)取得最小值，为a＋1；当x<0时，< span="">f(x)＝x2－ax＝\a\vs4\al\co1(x－\f(a2))2－a24，由题意可得f(x)在x<0时取得最小值< span="">a，即有a2<0，即< span="">a<0，则< span="">f \a\vs4\al\co1(\f(a2))＝a，即－a24＝a，解得a＝－4.
16．对于函数y＝f(x)，若存在x0使f(x0)＋f(－x0)＝0，则称点(x0，f(x0))是曲线f(x)的“优美点”．已知f(x)＝x2＋2x，x<0，kx＋2，x≥0，)若曲线< span="">f(x)存在“优美点”，则实数k的取值范围是________________．
答案 (－∞，2－22]
解析 方法一 当x<0时，< span="">f(x)＝x2＋2x关于原点对称的函数是y＝－x2＋2x(x>0)，由题意得，y＝－x2＋2x(x>0)与y＝kx＋2有交点，即－x2＋2x＝kx＋2(x>0)有解，∴k＝－x－2x＋2(x>0)有解，又－x－2x＋2≤－22＋2，当且仅当x＝2时等号成立，∴k≤2－22.
方法二 由“优美点”的定义，可知若点(x0，f(x0))是曲线y＝f(x)的“优美点”，则点(－x0，－f(－x0))也在曲线y＝f(x)上．如图，作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象，然后作出其关于原点对称的图象，此图象对应的函数解析式为< span="">y＝－x2＋2x(x>0)．设过定点(0,2)的直线y＝kx＋2与曲线y＝－x2＋2x(x>0)相切于点A(x1，f(x1))，则k＝
＝－2x1＋2＝21x1－0，解得x1＝2或x1＝－2(舍去)，所以k＝－22＋2.由图可知，若曲线y＝f(x)存在“优美点”，则k≤2－22.
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