百年战乱之后的祖冲之父子（二）
祖冲之还有一项极富创新的工作，但不大为人们所知，那就是得出圆球的体积和直径的关系。我们前面看到，阿基米德在祖冲之以前大约六百年前就得到了这个关系，但中国对他的工作并不知晓。祖冲之用与阿基米德完全不同的办法，得到了相同的结果。他和儿子首先设立一个定理：两个等高的物体，如果沿着高的方向截面面积处处相等，它们必具有相同的体积。这个定理的基点同阿基米德切割求和的思路相同。设想有很多铜钱，把它们一个个叠加起来，可以构成一个圆柱体。如果把它们之间的水平位置错开一些，也可以构成一个螺旋体或其他什么形状。既然每枚铜钱的体积是一定的，它们的体积的总和当然不变。根据这个原理，他们父子俩思考一个奇怪的几何形状的体积，名叫“牟合方盖”（图15）。
所谓的牟合方盖，就是两个同等直径的圆柱垂直相交而切出来的形状，如图15b所示。这个奇形怪状的东西最初是刘徽想出来的。刘徽在研究《九章算术》的时候，发现球体体积的计算公式是错误的：“开立方圆球法：以16乘体积，取它的九分之一开立方，就得到直径。”用现代代数语言，这句话就是说，，这里d是球的直径，V是体积。换句话说，。在《九章算术》的年代，人们习惯用数字3来近似圆周率。所以，《九章算术》给出的球体体积公式有可能是，这里r是球的半径。但这显然是不对的。
刘徽首先看出了问题，并设法寻找错误的来源。他认为，《九章算术》在估算球体体积的时候，采用的方法是比较球、圆柱和立方体之间的体积比例，如图16所示。
这里，半径为r的球体被半径为r、高为2r的圆柱内切（这就是阿基米德为自己的坟墓所设计的纪念碑的样子）。立方体的边长也是2r。刘徽说，我们不晓得前人是怎样得到16∶9这个比例的，但可以猜猜看。从垂直于平面ABCD的方向看下去，圆柱和球体截面（都是圆）的比值是1∶1，而立方体跟圆柱的截面，一是方，一是圆，所以比值是4∶3（这里的3相当于π）。从垂直于平面CDEF的方向看呢，圆柱和球体截面（一圆一方）的比值是4∶3，立方体和圆柱的截面（都是方形）的比例是1∶1。于是刘徽说，《九章算术》的作者可能是根据立方体和球体在两个相互垂直方向投影的比例之积来估计球体体积的。
问题在于，上面所说的截面是球体的最大截面（半径=r的截面）。如果沿着每个投影方向一层层地切割这个球体，你就会发现，绝大多数截面的半径都小于r。所以刘徽说，的估计是不对的。
沿着这个思路继续下去，刘徽说，对球体体积更好的估算不是立方体，而是两个相互垂直的圆柱相互切出来的体积，也就是图15那个牟合方盖。看看图15b，它是不是很像两把张开的方伞，一上一下紧紧扣在一起？再仔细看看，你就会发现，这个奇形怪状的东西有三个特点：一、沿着垂直于两根圆柱的任何一根的轴线作截面，所有的截面都是半径为r的圆形；二、如果在两根圆柱都垂直的方向作截面，那么所有的截面都是方形（图15b）；三、半径为r的球体恰好被牟合方盖内切（图15c）。
根据这些性质，刘徽说，
的估计更适合于牟合方盖；对于球体来说，利用这个比值给出的球体体积就太大了。刘徽还注意到，牟合方盖的第二、三个特征说明，在牟合方盖截面为方形的方向，每一个内切的球体的圆形截面都恰好内切于牟合方盖的相应的方形截面。换句话说，在任何一个截面上，圆截面与方截面的比都是
。由此，刘徽推论说，牟合方盖同内切球体的体积比是
，当然，他用的比值是
。因此，只要求出牟合方盖的体积，球的体积就知道了。可是，刘徽没有算出牟合方盖的体积来。
祖冲之父子采用下面的思路来计算牟合方盖的体积。先把牟合方盖图15b切成对称的两半，只看上面的一半（下面的一半跟上面一模一样；找到了一半的体积，就知道了整个的体积）。这半个牟合方盖的底面是边长为2r的正方形。让我们在高出底面h的地方作一个截面，这个截面也是一个正方形，边长我们不知道，但可以用已知的半径r和高h来表示，如图17a所示。这里边长的一半x、高h及球体的半径r构成直角三角形（图17a），所以它们之间满足勾股定理，换句话说，
。因此，牟合方盖在高度为h的地方，其正方形截面的面积是
。而以x为半径的圆的面积是
，所以在高为h的截面上，圆与正方形面积的比值是
。
下一步，祖氏父子选择了半个立方体，这半个立方体的底面的边长为2r，高为r（图17b）。从这半个立方体顶端的四个角向底面的中心点作直线，得到一个头朝下的“金字塔”，也就是底面为正方形的锥体。现在设想从这半个立方体内挖除“金字塔”，祖冲之父子要计算半个立方体内剩下的体积。利用跟前面半个牟合方盖同样的方法，考虑距离地面高为h处的截面。那里的面积是
。这里，y是挖去的倒立金字塔在高度h处边长的一半。我们知道，金字塔的高是r，底面的边长是2r。因此y=h。那么，对于我们的半个立方体来说，在高h处挖去的正方形的面积是
。也就是说，在高h处，剩下的面积是
。所以，在任何高度h上，牟合方盖的截面面积（图16a）跟挖去倒立金字塔的半个立方体的截面面积（图17b）都相等。根据他们父子提出的等截面原理，这两个东西的体积相等。
图17b的体积很容易求出，它等于
。这就是半个牟合方盖的体积。因此，完整的牟合方盖的体积是
。把这个结论乘以
，就得到球体的体积。
“幂势既同，则积不容异”。这个原理现在叫作“祖暅原理”。这个命名是根据唐朝李淳风在《九章算术》里的注释的记录。我们不知道祖氏父子俩谁先想到的。其实，刘徽在得到牟合方盖体积同球体体积比等于
的时候，他的思路里也暗含了这个原理的推广：截面处处具有同等比值的等高物体，其体积之比必与此截面之比相等。
仔细想一想你会发现，利用这个原理，如果把图17a中的半个牟合方盖换成半个球体，利用任意h高度的相应于图17a和17b截面的比值，就可以直接得到球体的体积而不必求助于牟合方盖。这个问题留给读者自己作为练习来做吧。
现在，让我们回到阿基米德最为骄傲的内切圆球的圆柱体问题。让我们采用跟祖氏父子类似的方法，但是把图17a的半个牟合方盖换成半个球体，把右边的半个立方体换成高为r的圆柱。在圆柱内还是挖一个锥形，只不过现在是一个底面半径为r的倒立圆锥。计算一下半圆内高度h处的截面面积和在同等高度h处圆柱在挖出倒立圆锥后剩下的圆环的面积。你得到什么结果（本章习题2）？想象不到吧，你明白阿基米德为什么对这个结果如此骄傲了吗？
祖冲之研究过《九章算术》和刘徽所作的注解，给《九章算术》和刘徽的《重差》作过注解。他们父子还著有《缀术》一书，汇集了父子俩的数学研究成果。《缀术》在唐代被收入国子监算学馆的教本《算经十书》，成为唐代的数学课本。当时学习《缀术》需要四年的时间，可见《缀术》的艰深。《缀术》曾经传至朝鲜和日本。这本书内容过于深奥，以至“学官莫能究其深奥，故废而不理”。所以到北宋时这部书就已经逸失了。人们只能通过其他文献了解祖冲之的部分工作：在《隋书·律历志》中留有一小段祖氏父子关于圆周率的工作；唐代李淳风在《九章算术》注文中记载了他们求球体积的方法。他们还研究过“开差幂”和“开差立”问题，涉及二次方程和三次方程的求根问题。遗留下来的主要数学贡献是对圆周率的计算结果和球体体积的计算公式。
祖暅定理在西方称为卡瓦列利原理，是意大利耶稣军教士、比萨大学数学家卡瓦列利（Bonaventura Francesco Cavalieri，公元1598－公元1647）在1635年提出来的。这比祖氏父子晚了差不多一千二百年。不过，卡瓦列利的概念更为明确，他令人信服地论证，任何三维的物体都可以看成是无数二维平面的叠加。他也是世界上第一位以“积分”的思路来思考三次多项式的人，直接促进了后来微积分学的发展。
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