蚂蚁怎样走最近?

如图1所示,有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?(π的值取3)

这道题我们用了展开圆柱侧面成平面图形(长方形)的方法,如图2,求出线段AB2=AC2+BC2=122+92=144+81=225,从而得到蚂蚁爬行的最短路线是沿圆柱侧面的一段曲线AB等于15厘米.

如果蚂蚁不“沿圆柱侧面爬行”,而是沿着A点竖直向上爬到C点,再沿直径CB爬到B点,即沿从A→C→B的路线要爬12+6=18厘米,所以这条路线比第一条路线要长.

探究一:假想一下,若本题中的圆柱是一个典型的矮胖型圆柱,那么蚂蚁爬哪条路线最短呢?

我们不妨计算一下,假设这个圆柱的高度为1厘米,其它条件不变,那么展开图中AB2=AC2+BC2=12+92=82,而沿第二条路线,即(A→C→B)2=(1+6)2=49<82,所以这时蚂蚁沿由(A→C→B)的第二条路线最短.

探究二:既然瘦长型的圆柱沿曲面爬最短,矮胖型的圆柱沿第二条路线爬最短,那么我们再深入探索一下,原题中圆柱的高度变为多少厘米时(其它条件不变),蚂蚁爬这两条路线的路程相等?

解析:设圆柱的高度变为xcm,根据题意得

展开图中:AB2=x2+92

由(A→C→B)2=(x+6)2

x2+92=(x+6)2

x2+81=x2+12x+36

45=12x

x=3.75

所以,当圆柱的高为3.75cm时,蚂蚁走这两条路线的路程相等.

探究三:当圆柱的底面半径r与圆柱的高度h满足怎样的关系时,

(1)蚂蚁爬这两条路线一样长?

(2)蚂蚁爬第一条路线最短?

(3)蚂蚁爬第二条路线最短?

通过上面的探索可以看出,学好数学不能墨守成规,生搬硬套.对于同种类型的题目也要灵活分析,认真对待哟.

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