代数基本定理，用复数证明所有多项式函数都有根

根据代数基本定理，每个多项式在其定义域内的某个点上都有一个根。虽然这个定理早在18世纪初就已经被提出（由三位数学家，彼得·罗斯，艾伯特·吉拉尔和勒内·笛卡尔提出），但是第一个（非严格的）证明是在1746年由法国博学家让·勒朗·达朗贝尔在他的著作《关于卡尔库尔积分的研究》中发表的。该定理第一个严格证明的作者是卡尔·弗里德里克·高斯，他是历史上最杰出的数学家之一。
图1：法国博学家让·勒朗·达朗贝尔和德国著名数学家卡尔·弗里德里克·高斯。
让我们先讨论一些将在证明中使用的相关概念。

复数

复数z是具有以下形式的数：
  • 方程1：复数的定义。
其中x和y是z的实部和虚部。i是虚数单位，它是二次方程的解：
  • 方程2：虚数单位i是这个二次方程的解
16世纪著名的意大利数学家卡尔达诺（他同时还是一名医生、生物学家、物理学家、化学家、哲学家等）在他的三次方程的根研究中引入了复数。
  • 图2：左边的图显示了一个复数的示例。右边是杰罗拉莫·卡尔达诺。
通过复数平面，我们可以用几何形式表示复数。横轴包含实数，纵轴包含虚数。下图显示了复平面中的想象单元i。这个圆叫做单位圆。
换句话说，利用复平面，我们可以用几何来解释复数。例如，在加法下，它们表现为向量：
  • 图4：在加法下，复数表现为向量。
为了更好地表达复数乘法，用极坐标代替笛卡尔坐标更方便。
  • 式3：极坐标(r, θ)表示的复数z。
这里我们用：
  • 公式4：公式3中使用的定义。第三个是著名的欧拉公式，作为特例。著名的欧拉恒等式显示了数学中最基本的数之间的深刻联系。
利用公式3，可以将复数相乘写成如下形式：
  • 方程5：极坐标下两个复数相乘(r, θ)
象征性地我们有：
  • 公式6：上述两种观察结果用符号表示。
多项式和根
根据维基百科，“多项式f是一个由变量和系数组成的表达式，它只涉及加、减、乘运算，以及变量的非负整数指数。如果f(x) = 0，则x是该多项式的根。
一个实数多项式方程的例子如图5所示。
  • 图5：一个多项式的例子的绘图。
为了绘制具有复杂参数的多项式的图，我们遇到了一个问题：复数是2D的，因此定义在复数上的复数值函数的图将是4D。一种可能的解决方案是使用颜色来表示尺寸。这里的想法是这样的（见图6a）。选择原点为黑色，然后绕着它逆时针旋转，通过色轮的颜色（红、黄、绿、青色、蓝、品红，然后回到红色）。当z接近原点时，指定的颜色z接近黑色。相比之下，当|z|→∞时，其颜色趋于白色。注意，每个z都有一个不同的颜色，因此它的颜色唯一地指定了它。我们在图6b中绘制一个函数f: C→C的图，我们用与f(z)的值相关联的颜色对每个点z∈C着色。因此，通过确定点z的颜色，再与图6a比较，可以得到任意点z的f(z)，然后用颜色表示哪个复数。这种技术叫做区域着色。

6a

6b

  • 图6a：复杂的平原(左)。图6b(右)：f(z)的域着色坐标。

代数基本定理(FTA)

代数基本定理指出，每一个多项式p(z)都有一个复根。下面由数学家林赛·蔡尔兹证明。它是基于瑞士业余数学家让-罗伯特·阿根德在他1814年发表的著作《关于新理论分析的反身性》中给出的结论。
  • 图7：业余数学家让-罗伯特·阿根德

证明

更正式地说，我们的目标是证明对于任何具有复系数的多项式p(z)
  • 方程7：复系数的多项式p(z)。
有一个复数Ç ∈ Ç(其中c是复数的集合)使p（C ^）= 0，或：
  • 方程8：总有一个复数c，使得对于任何多项式p(z)，p(c)=0。
为了证明FTA我们需要以下辅助结果：如果K→R是连续的，那么f (x, y)上有一个最小值和最大值。
  • 图8：极值定理的一维版本。
实际上，FTA依赖于两个更简单的引理，为了避免混乱，将省略这些引理。
现在考虑定义集合K：
  • 方程9：集合K
  • 图9：方程9中定义的集合K。
符号|，|代表复数的绝对值
  • 方程10：复数z绝对值的定义。
因为K是连续的函数
  • 方程11：这个函数在K内有一个最小值。
如果R足够大，我们有:
  • 公式12：如果R足够大，对于K中任意z， |p(z)|大于或等于|p(c)|。
  • 图10：如果R足够大，则遵循方程13。
现在，上述不等式等于：
  • 式13：如果c是K的最小值，则得到该不等式对所有复平面都有效。
注意，这个不等式不仅在某些圆盘内，而且在所有的复平面C上都是有效的。
下一步是假设p(c)≠0，定义如下函数：
  • 式14：h(z)的定义。
并证明存在一个复数u，使得|h(u)|<1或者等价地：
  • 方程15：这个条件与方程12和方程13相矛盾。
函数h的形式为：
  • 式16：公式14中h(z)的形式，其中g(z)为多项式。
其中g(z)为连续多项式。然后定义d：
  • 方程17：选择参数d。
然后我们写出h(td)对于t∈(0,1)。我们得到：
  • 式18：t∈(0,1)
三角不等式告诉我们：
  • 式19：将三角不等式应用于式18。
对于足够小的t，由于多项式g是连续的，我们得到：
  • 公式20：当t足够小时，公式19的结果。
这个结果与我们在式12和13中的假设相矛盾。这就是证明！
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