初二奥数精讲——第8讲 实数与非负数（二）
一、知识点解析
1. 基本知识
（1）实数的分类：
常见的分类方式有两种：
按符号分：正数、负数、零。
按外在表现形式分，实数可以分为有理数、无理数。其中整数和分数（有限小数与无限不循环小数）称为有理数，无限不循环小数称为无理数。
还可以按属性分：代数数、超越数，如果一个实数是某个整系数多项式的根，则称此数为代数数，否则称为超越数。比如
是代数数，而圆周率π是超越数。
当数扩充到含有符号时，要特别注意打破原有的“算术”思维定式，比如，有这样一个简单问题：一个数的倒数等于它的本身，求这个数。是否会脱口而出它是1？实际上还有一个数“-1”。显然避免错误的好办法就是代数方法：设所求的数为x，求解未知数。
（2）有理数与无理数的性质：
有理数对四则运算封闭，无理数对四则运算中的任何一个都不封闭，也就是说两个无理数相加（减、乘、除）后可能是有理数。
任何两个有理数之间必存在一个有理数（比如，它们的平均值）。由此可知，任何两个有理数之间存在着无穷个有理数。这一性质称为有理数的“稠密性”，即有理数密密麻麻地分布在数轴上，但是，全体有理数并没有覆盖整个数轴，因为数轴上还有另一类数——无理数。
（3）实数的性质：
实数与数轴上的点一一对应，这一性质称为实数的连续性。
设a、b是实数，则或者a＞b，或者a＜b，或者a=b，三者必居其一。这一性质称为实数的可比性或有序性。
（4）绝对值及其性质：
绝对值的代数定义：
形象地说，绝对值符号“关”住了谁，去掉绝对值符号时就要讨论谁的值的正负。
绝对值的几何意义：x的绝对值是数轴上表示数x的点离开原点的距离。由此可以得到 |x-y|、|x+y|。|x-y|的几何意义是，数轴上表示数x、y的两点间的距离。
（5）非负数及其性质
正数和零统称为非负数。所谓非负数，也就是“不是负数”实数。常见的三种非负数的形式是：平方数x2、绝对值 |x|，算术平方根
。
2. 基本方法
（1）反证法：先假设待证的结论不成立，然后依此并结合题设条件，推出一个不可能成立的结论，从而说明原来的假设错误，达到证明要证的结论的目的。
（2）配方法：由前两项配第三项，口诀是：加上一次项一半的平方；由两头两项配中间项，口诀是：加上（减去）两“底”积的2倍。
（3）不等式控制阀：根据题设的代数式的意义，得出字母满足的不等式，由此求出字母的取值（范围）。
（4）零点分区法：使代数值为零的点（字母的取值）称为零点。对字母的取值分零点左边、零点、零点右边三种情况讨论的方法叫零点分区法。
（5）数形结合法：根据代数式的几何意义研究问题的方法叫做数形结合法。
3. 基本问题
（1）化简含有绝对值符号的代数式或求值：常采用零点分区法、数形结合法。
（2）证明一个数为无理数：常采用反证法。
（3）解特殊的不定方程：常采用配方法然后结合非负数的性质求解。
（4）在约数条件下求代数式的值：约数条件实质上就是一个不定方程，通常可利用非负数的性质求出它的解，然后带入代数式求值。
（5）证明条件等式：将所给的条件等式配方，由此得到字母的更简化的关系，进而推出要证明的等式。
（6）求简单类型的最值：对于形如A=p±q2的代数式，利用q2≥0，可求出它的最小或最大值。
这部分主要考察学生的对实数与非负数的了解及掌握。是我们学习的数域的扩充，有一些新的结论，需要推翻之前的思维定式。绝对值和非负数部分是初中奥数的常客，这部分题型种类繁多，要在扎实的基础知识基础上，认真学习，多加练习，让我们在例题和解答中一起学习吧。
二、例题
例1
分析：反证法。
解答：
例2
解方程：
分析：反证法。
解答：
例3
例4
例5