一道狭义相对论习题

一列长为的火车，尾部位于原点，头部位于

。在

时，列车开始以加速度

匀加速运动，并在其速度为

时停止加速。问加速停止时，车头和车尾放置的钟的时间是多少？在相对于原坐标系以速度

运动的参照系，加速停止时（即火车达到静止状态时）车头和车尾的时间是多少？如何理解所得结果？

解：对于火车上任意一点，设其本征时间（即火车上该点的钟所指的时间）为

，则

由于是匀加速运动，所以

为加速停止的时刻。于是

设

时该点的坐标为

， 则

时刻该点的坐标为

，加速结束时刻的位置为

。上述时间的计算结果与位置无关，火车上任何位置的钟在停止加速时刻 所指的时间均为

。在整个加速过程和加速结束后，火车上每一点的位移都相同，于是，在固定参照系看来，火车的长度在加速及加速后都没有变化。

在参照系

，在加速前火车以速度

匀速运动，令

在

时，火车上任一点的位置和对应的时间（是参照系的时间，火车上每一点的时间都是

）为

由加速度的变换关系得到

即在

是变加速运动。直接计算太繁琐，所以，我们从

系变换到

系。在停止加速时刻，

，

，对应于

在火车尾部，

：

在火车头部，

：

注意到

，加速结束后，火车与

相对静止，这就是火车的原长。这个结果表明，经过加速过程，火车被拉长了；另一方面，在加速结束后，在

系看来。火车车头的钟与车尾的钟不同步，车头的钟要超前

，即加速后火车上不同位置的钟不再同步了。这在表面上是有些难以理解的结果，一列火车，匀加速之后，变长了。那么，这个结果是否正确，如何理解？当然，一列火车的加速过程是非常复杂的，火车的各个部分之间有相互作用，每个部分的加速度要维持为一致，实际上很难实现。如果考虑一个简单的模型，例如一个长杆，长杆的每一部分同样与其他部分有相互作用，所以这样的模型本质上并没有简化。如果我们把模型简化为一系列没有相互作用的点，每个点的加速度一样，那么，加速结束后，在这些点自己看来，相邻点的距离变长了，这本身没有任何矛盾。一个可能的反驳意见是：两点相对静止时的距离是其原长，原长是不变量，在所有惯性参照系都一样，现在，经过加速，原长变长了，与原长是不变量矛盾。这个意见可以这样回答， 作为不变量的原长，是一个可以客观定义的长度，例如静止于该参照系的某种原子的指定两个能级之间跃迁发出的电磁波的波长，在另一个参照系，静止于其中的同种原子的这个波长被认为与前一个参照系中的相同。这才是原长不变的确切含义，也是相对性原理的自然结果。而两个点之间的距离在加速后发生变化，仅仅是一个正确的计算结果。