【解题研究】（2021重庆B卷26）旋转变换•对角互补•解直角三角形•胡不归

2021重庆B卷26

【推理】

在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．

（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．

①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；

②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BH  BF；

（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP  MP最小时，直接写出△DPN的面积．

试题分析

（1）①本问求线段的长，求线段的长常用有三大工具进行计算：勾股定理、三角函数、相似；本题主要用勾股定理来求解，关键是构造直角三角，然进一步利用勾股定理求解．

方法1：如图，过D作DH⊥GC于H，先证明△BGF是等边三角形， CD＝3，再证明BF＝CF＝GF，从而在Rt△BDC中，求出CF     ，即得GF，在Rt△CDH中，求出DH＝CD·sin30°  和CH＝CD·cos30°  ，可得GH＝GF+FH  ，可得DG  ；

方法2：过D作DH⊥BG于H，求出DH  ，GH  ，Rt△GHD中，即可得到DG  ；

方法3：过G作GH⊥BD于H，求出GH=3，DH=2  ，Rt△GHD中，即可得到DG  ；

方法4：连接AG，可证△ABG≌△CBF9（手拉手模型），进一步AG＝CF＝GF＝2  ，∠GAD＝90°，再利用勾股定理到DG  ；

②本问是对角互补模型，要构造旋转型全等，方式有两种；

方法1：过F作FM⊥AB于M，过FH作FN⊥BC于N，证△FME≌△FNH（ASA），所以ME＝NH，所于是BE+BH

2BM＝2BF·cos30°  ；

方法2：延长BE到点M，使EM＝BH，证△FME≌△FBH（SAS），所以∠EMF＝∠HBF＝30°，于是∠EMF＝∠MBF＝30°，于是BE+BH  ；

方法3：延长BH到点M，使MH＝BE，证△FBE≌△FMH（SAS），所以∠EBF＝∠HMF＝30°，于是∠FBM＝∠FMB＝30°，于是BE+BH  ；

（2）本问胡不归模型，特殊三角形边的相互转化及相关线段的长计算

以M为顶点，MP为一边，作∠PMH＝30°，MH交BD于G，过P作PH⊥MH于H， Rt△PMH中，HP  MP，NP  MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，求得DN＝GH＝2，MG  BM  ，BG＝BM·cos30°  ，可求MH＝MG+GH  ，GD＝BD﹣BG  ，于是HP  ，从而PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP  ，故S_△DPN  PN·DN  ．

题目解析

解：（1）①方法1：过D作DH⊥GC于H，如图：

∵线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，点E与点B重合，且GF的延长线过点C，

∴BG＝BF，∠FBG＝60°，

∴△BGF是等边三角形，

∴∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF，

∵等边△ABC，AB＝6，BD⊥AC，

∴∠DCF＝180°﹣∠BDC﹣∠DFC＝30°，∠DBC  ∠ABC＝30°，CD  AC  AB＝3，

∴∠BCG＝∠ACB﹣∠DCF＝30°，

∴∠BCG＝∠DBC，

∴BF＝CF，

∴GF＝CF，

Rt△FDC中，CF    ，

∴GF  ，

Rt△CDH中，DH＝CD·sin30°  ，CH＝CD·cos30°  ，

∴FH＝CF﹣CH  ，

∴GH＝GF+FH  ，

Rt△GHD中，DG  ；

方法2-4略

②方法1：过F作FM⊥AB于M，过FH作FN⊥BC于N，则∠EMF＝∠FNH＝90°，

∵∠ABD＝∠CBD，

∴MF＝NF，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，

∴∠MFN＝120°，

∵EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，

∴△EGF是等边三角形，

∴∠EFG＝∠EGF＝∠GEF＝60°，∠EFH＝120°，

∴∠MFN＝∠EFH＝120°，

∴∠MFE＝∠HFN，

∴△FME≌△FNH（ASA），

∴ME＝NH，

∴BE+BH=2BM＝2BF·cos30°  ；

方法2-3略

（2）以M为顶点，MP为一边，作∠PML＝30°，ML交BD于G，过P作PH⊥ML于H，设MP交BD于K，如图：

Rt△PMH中，HP  MP，

∴NP  MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，

易证四边形GHND是矩形，

∴DN＝GH，

∵等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，

∴CD＝3，

又DN＝2NC，

∴DN＝GH＝2，

∵等边△ABC中，AB＝6，点E为AB中点时，点M为BE中点，

∴BM  ，BD＝AB·sinA＝6×sin60°  ，

Rt△BGM中，MG  BM  ，BG＝BM·cos30°  ，

∴MH＝MG+GH  ，GD＝BD﹣BG  ，

Rt△MHP中，HP＝MH·tan30°  ，

∴PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP  ，

∴S_△DPN  PN·DN  ．

解后反思

本题是一道几何综合探究题，涉及知识较多，解题的关键是构造辅助线，通过研析本题，应注意掌握以下规律与方法：

1.求线段长的度方法

①勾股法；②三角函数法；③相似法；④面积法；⑤等值代换法；

2.对角互补模型的转化途径

①做垂直构造全等；②延长构造全等；

3.特殊三角形各边的转化

①30°角直角三角形三边的比为1：  ：2；

②等腰直角三角形三边的比为1：1：  ；

③底角为30°的等腰三角形三边的比为1：1：  ；

4.胡不归模型转化方式

两定点A、B，动点 P的运动轨迹是一条直线， “PA+k·PB”（k≠1，且k为正数）的最小值问题即为胡不归，通过构造PQ＝PB·sinα =k·PB，过定直线上的定点向这条定直线的某一侧（依情况而定）作一个锐角，使其正弦值等于要处理的系数）进行转化.