【模型导学】“飞鱼模型” ——相似三角形的一个常见二级模型
一题多解是巩固复习所学知识方法,增强和锻炼发散思维,形成综合能力的最重要方法。其实,相信看到文章最后的读者都应该看得出来,老王并不是想讲“一题多解”的。文章推出后,马上有安徽的网友交流自己的看法:多解归一好!
其实,“多解归一”就是“通法”!“多题归一”就是“建模”!某种程度上,“建模”就是“通法”!
那么,咱们今天讲什么呢?咱们今天还讲“建模”!前几天老王首次公布了一个不太常用的数学模型——“电线杆模型”,今天老王首次再公布一个比较常用的数学模型——“飞鱼模型!”
咱先卖个关子,先来个智力小游戏热热身!
如图1,是由8根火柴棒拼成的一条正在向右自由遨游的“小鱼”,请你只移动其中的两根火柴棒,使得图中的“小鱼”改变了游动的方向。
你想到了吗?
公布答案了.......
其实,还可以这样:
你看出来是怎么移动的吗?
原来是这样的.....
如果让你只移动其中的三根火柴棒,使小鱼改变游泳方向呢?
这次直接上答案!
下面咱们言归正传,今天咱们说说“飞鱼模型”。请看图7,您是不是也看到了一条向右游泳的“飞鱼”呢?
相信您已经看到了!其实,咱数学上就有这样一条“飞鱼”,经常游走在各地的中考题目中。
如图8,若有①AB:BC=1:m;②ED:CD=1:n;③AO:OD=1:h;④OE:OB=1:k;其中,上述4个关系式中,任意两个作为已知条件,即可求出另外两个的值。这个模型,老王称之为“飞鱼模型”!
解决“飞鱼模型”的方法比较多,这类题目最常见的出题形式是:
1、已知①②求③;
2、已知①②求④;
3、已知①③求②;
4、已知①④求②;
5、已知②③求①;
6、已知②④求①.
7、已知①③求④;
8、已知①④求③;
9、已知②③求④;
10、已知②④求③;
11、已知③④求①;
12、已知③④求②.
大家不妨再看看这两道题目:
例1、(2019四川凉山)如图9,在△ABC中,D在AC边上,AD:DC=1:2,O是BD的中点,连接AO并延长交BC于E,则BE:EC=( )
A.1:2 B.1:3
C.1:4 D.2:3
方法1:如图10,作DM∥AE交BC于M,则△CDM∽△CAE,△BOE∽△BDM。∵AD:DC=1:2,∴EM:MC=1:2。∵OB=OD,∴BE:EM=1:1,∴BE:EC=1:3,选B;
方法2:如图11,作DM∥BC交AE于M,则△ADM∽△ACE,△BOE∽≌△DOM。∵AD:DC=1:2,∴AD:AC=DM:CE=1:3。∵OB=OD,∴BE=DM,∴BE:EC=1:3,选B;
其实,我们还可以用下面的辅助线进行证明——具体证明过程略,请大家自行根据图中示提示体会相关证法。
例2、如图20,已知在△ACD中,B在AC边上,O在AD上,BO交CD延长线于点E,AB:BC=1:2,O是AD的中点,则BO:BE= ;
同样,我们也可以找到类似的证明方法,求得BO:BE=1:4.
突然突然想到了洛阳二外王宏伟老师的一句非常任性的话:“遇到45°角,胡乱作平行!!!”
这里不妨也借用一下:遇到“飞鱼模型”,胡乱做平行!!!
说是“胡乱做平行”,其实也是有目的的。细心的您也许会发现?例1和例2中过点E作平行线,似乎都不顺利。为什么呢?留待大家下去去探讨。
其实,最重要的一点,老王还想告诉大家:既然本文以“又一道不可多得的压轴小题(2)——从2020年山西压轴小题的多中解法说起”为题,是想说明两点:
1、上篇“又一道不可多得的压轴小题(1)”之解法9,不小心给漏了,向大家致歉,这里补录于后:
【原题】(2020山西)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3, BC=4, CD⊥AB,垂足为D, E为BC的中点,AE与CD交于点F,则DF的长为_________.
2、在这道题目里,不是也有个“飞鱼模型”存在吗?
其实,我们上一篇的许多解法,就是“飞鱼模型”的“胡乱做平行”策略!鉴于此,我们甚至还可以借助于下列辅助线解决这道题目,具体证明方法大家下去完善:
胸中有模型,胜过百万兵 !!!
模型不是让学生死记硬背一些固定的套路、公式、甚至结果,而是让同学们逐渐树立“建模意识”,培养“建模思想”,把一个新问题“转化”为已经学习过或解决过的老问题。
下面这些题目,欢迎大家运用“飞鱼模型”的相关策略来解决!
1、如图,在△ABC中,AF:FB=2:3,延长BC至点D,使得BC=2CD,求AE:EC的值.
2、如图3,在△ABC中,M是AC的中点,E是AB上一点,且AE=1/4AB,连接EM并延长,交BC的延长线于D,则BC:CD_______.
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