数学的奥秘:用微积分可以快速计算出自然数的任意次方之和

如下是一个简单的1到10的自然数之和:你口算就可以得出结果

如果用简单的几何原理来表示,则每个数字都可以用单位正方形表示出来,1个正方形表示1,2个正方形表示2,3个正方形表示3........,那么正方形的面积就是

但是上述的计算。少了n个正方形的一半,所以要加上10/2=5,其结果就是1到10的自然数之和

那么对于1到100的所有自然数之和等于多少呢?同理,采用上述方法,其结果就是5050,这正是天才数学家高斯8岁时所得到的结果

我们将其上升到一个高度,计算1到n的所有自然数的平方之和

我们同样用几何方法来描述这一原理,只是将单位正方形换成了单位立方体,第一层表示1^2,第二层表示2^2 ,第三层表示3^2........

上述图形类似一个四棱锥,棱锥的体积公式就是n^/3

我们同样来计算1到n的立方之和,当然这是非常困难的

不用担心,我们仿照几何原理,第一个表示边长为1的立方体,第二个表示边长为2的立方体,第三个表示边长为3的立方体.......最后一个表示边长为n的的立方体,最终形成了一个超级立方体。

参照上述几何原理,这个超级立方体的体积就是n^4/4,

上述一系类的推导,就可以推导出1到n的k次方之和约等于

这正好对应x^k的积分公式

所以数学的奥妙非常值得我们去探索,因为你会得到意想不到的结果

(0)

相关推荐